Question

Помогите решить пожалуйста Исследовать функции z(x,y)=9x²-у²+2xy-3x-y+1 на экстремум

Answer 1

Ответ:

z'(по х)=18x+2y-3

z'(по у)= -2y+2x-1

Решаем систему:

{z'(по х)=0

{z'(по у)=0

{y=(3-18x)/2

{-2y+2x-1=0

подставляем выраженный у во второе уравнение:

$- 2 \times \frac{3 - 18x}{2} + 2x - 1 = 0 \\ - 3 + 18x + 2x - 1 = 0 \\ 20x = 4 \\ x = \frac{1}{5} \\ x = 0.2$

Находим у:

$y = \frac{3 - 18 \times \frac{1}{5} }{2} = \frac{3}{2} - \frac{18}{2 \times 5} = \frac{3}{2} - \frac{9}{5} = \frac{15 - 18}{10} = - \frac{3}{10} = - 0.3$

Ответ: х=0,2; у=-0,3 - экстремум

Answer 2

Для исследования функции z(x, y) = 9x² - у² + 2xy - 3x - y + 1 на экстремум, нам необходимо найти все точки, в которых функция достигает локальных минимумов или максимумов.

Для этого мы будем использовать градиентный метод. Градиент функции задается следующим образом:

∇z = (∂z/∂x, ∂z/∂y)

Найдем частные производные функции по x и y:

∂z/∂x = 18x + 2y - 3 ∂z/∂y = -2y + 2x - 1

Теперь найдем точки, в которых градиент равен нулю:

18x + 2y - 3 = 0 -2y + 2x - 1 = 0

Решим данную систему уравнений. Для этого умножим второе уравнение на 9 и сложим его с первым:

18x + 2y - 3 + 18x - 9y + 9 = 0 36x - 7y + 6 = 0

Решим данное уравнение:

36x - 7y = -6

Умножим первое уравнение исходной системы на 9 и сложим его с умноженным уравнением второго:

162x + 18y - 27 + 18x - 9y + 9 = 0 180x + 9y - 18 = 0

Решим данное уравнение:

180x + 9y = 18

Таким образом, у нас получилась система уравнений:

36x - 7y = -6 180x + 9y = 18

Решим данную систему. Умножим первое уравнение на 5:

180x - 35y = -30 180x + 9y = 18

Вычтем второе уравнение из первого:

-44y = -48 y = 48/44 y = 1.0909

Подставим значение y во второе уравнение:

180x + 9(1.0909) = 18 180x + 9.8182 = 18 180x = 8.1818 x = 8.1818/180 x = 0.0455

Таким образом, найдена точка экстремума: (0.0455, 1.0909).

Проверим, является ли найденная точка экстремумом. Для этого посчитаем дискриминант:

D = (∂²z/∂x²)(∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)²

Найдем вторые производные нашей функции:

∂²z/∂x² = 18, ∂²z/∂y² = -2, ∂²z/∂x∂y = 2

Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (18)(-2) - (2)² D = -36 - 4 D = -40

Так как дискриминант отрицателен, то найденная точка является экстремумом.

Итак, функция z(x, y) = 9x² - у² + 2xy - 3x - y + 1 имеет локальный экстремум в точке (0.0455, 1.0909).