Question

Запишите число 0.037(19) в виде обыкновенной дроби (40 баллов!)

Answer 1

Ответ:

$\frac{1841}{49500}$.

Пошаговое объяснение:

$0,037(19)=0,037191919...=0,037+\frac{19}{10^{5}} +\frac{19}{10^{7}}+\frac{19}{10^{9}}+...$

Здесь  $\frac{19}{10^{5}}+\frac{19}{10^{7}}+\frac{19}{10^{9}} +...$ - сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии где первый член прогрессии - $\frac{19}{10^{5}}$, а знаменатель - $\frac{1}{10^{2}}$. По формуле суммы членов бесконечной убывающей прогрессии получаем $\frac{19}{10^{5}}+\frac{19}{10^{7}}+\frac{19}{10^{9}} +...=\frac{\frac{19}{10^{5}} }{1-\frac{1}{10^{2}} } =\frac{19}{10^{5}*\frac{99}{100} } =\frac{19}{99000}$, то есть, $0,037(19)=0,037+\frac{19}{99000} =\frac{37}{1000} +\frac{19}{99000} =\frac{3663}{99000} +\frac{19}{99000} =\frac{3682}{99000} =\frac{2*1841}{2*49500} =\frac{1841}{49500}$

Answer 2

Чтобы записать число 0.037(19) в виде обыкновенной дроби, мы должны выразить периодическую десятичную дробь в виде дроби.

Обозначим x = 0.037(19).

Умножим уравнение на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков после запятой:

1000x = 37.019(19).

Затем вычтем из первого уравнения второе:

1000x - x = 37.019(19) - 0.037(19).

Это даст нам:

999x = 37.019 - 0.037.

Упростим это:

999x = 37.182.

Теперь разделим обе стороны на 999:

x = 37.182 / 999.

Теперь мы можем привести это к обыкновенной дроби:

x = 0.037182182182...

Обозначим y = 0.182182182...

Таким образом, x = 0.037 + y.

Теперь мы видим, что y является периодической десятичной дробью с периодом 182.

Умножим y на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков после запятой:

1000y = 182.182182182...

Вычтем из первого уравнения второе:

1000y - y = 182.182182182... - 0.182182182...

Это даст нам:

999y = 182.

Теперь разделим обе стороны на 999:

y = 182 / 999.

Теперь мы можем выразить x в виде обыкновенной дроби:

x = 0.037 + y = 0.037 + 182 / 999.

Таким образом, число 0.037(19) можно записать в виде обыкновенной дроби как 37 / 1000 + 182 / 999.