Question

На плоскости отмечено 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что никакая тройка отрезков не образует треугольника. Какое наибольшее число отрезков могло быть проведено?

Answer 1

Пусть всего $2n=100$ точек. Рассмотрим граф на этих вершинах. Рассмотрим вершину (пусть это вершина $A$) с наибольшей степенью. Пусть эта степень равна $u$. Заметим, что у вершин, имеющих связь с $A$ нет ребер к другим вершинам, связанным с $A$ (иначе получился бы треугольник). Поэтому степень этих вершин не больше, чем $2n-u$. Степени оставшихся не превосходят $u$. Поэтому сумма степеней не превосходит $u(2n-u)+(2n-u)u=2u(2n-u)$. Количество ребер не превосходит $2u(2n-u)/2=u(2n-u)\leq (\frac{u+2n-u}{2})^2=n^2=2500$ (последнее неравенство — следствие из н-ва между ср. арифм. и ср. геометр.)

С другой стороны, несложно привести пример: рассмотрим двудольный граф (две равные доли по 50 вершин) и проведем всевозможные ребра (их будет 50*50=2500).

Если же проведено более 2500 ребер, то образуется хотя бы один треугольник (на самом деле их будет хотя бы 50).

Ответ: 2500

Answer 2

Предоставлю подробное объяснение этой задачи. Давайте разберемся в ней по шагам.

У нас есть 100 точек на плоскости, и ни одна тройка точек не лежит на одной прямой. Нам нужно провести отрезки между некоторыми парами точек, но с условием, что никакая тройка отрезков не образует треугольника.

Для максимизации количества отрезков, которые можно провести, нам нужно понять, какие тройки точек могут образовать треугольники, чтобы избегать их образования.

Для этого рассмотрим, какие комбинации точек могут образовать треугольники. Предположим, что мы выбрали три точки A, B и C. Чтобы они не образовывали треугольник, нам нужно удовлетворить следующим условиям:

1. Точка A не должна быть соединена отрезком с точкой B. 2. Точка B не должна быть соединена отрезком с точкой C. 3. Точка C не должна быть соединена отрезком с точкой A.

Это означает, что каждая из этих трех точек (A, B и C) может быть соединена с максимум двумя другими точками. То есть, каждая из них может иметь два отрезка. Исходя из этого, можно сделать вывод, что максимальное число отрезков, которое можно провести без образования треугольников, равно 2 * 100 / 3, так как каждая из 100 точек может иметь два отрезка, и каждый отрезок будет входить в две точки. Это равно примерно 66.67, но так как отрезки должны быть целочисленными, мы можем провести максимум 66 отрезков.

Итак, наибольшее число отрезков, которое можно провести при данных условиях, равно 66.