Question

Решить уравнение 6sin^2x+5cosx-2=0 , принадлежащие отрезку [2П;7П/2]

Answer 1

$6\sin^2x+5\cos x-2=0\\6(1-\cos^2x)+5\cos x-2=0\\6-6\cos^2x+5\cos x-2=0\\-6\cos^2x+5\cos x+4=0\;\;\;\;\;\times(-1)\\6\cos^2x-5\cos x-4=0\\\cos x=t,\;\cos^2x=t^2,\;t\in[-1;\;1]\\\\6t^2-5t-4=0\\D=25-4\cdot6\cdot(-4)=25+96-121\\t_{1,2}=\frac{5\pm11}{12}\\t_1=-\frac12\\t_2=\frac43>1\;-\;He\;nogx.\\\cos x=-\frac12\Rightarrow \boxed{x=\pm\frac{2\pi}3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}}\\\\\\x\in\left[2\pi;\;\frac{7\pi}2\right]:\\\\2\pi\leq\pm\frac{2\pi}3+2\pi n\leq\frac{7\pi}2$

$\begin{array}{ccc}2\pi\leq\frac{2\pi}3+2\pi n\leq\frac{7\pi}2&|&2\pi\leq-\frac{2\pi}3+2\pi n\leq\frac{7\pi}2\\&|&\\2\pi-\frac{2\pi}3\leq2\pi n\leq\frac{7\pi}2-\frac{2\pi}3&|&2\pi+\frac{2\pi}3\leq2\pi n\leq\frac{7\pi}2+\frac{2\pi}3\\&|&\\\frac{4\pi}3\leq2\pi n\leq\frac{17\pi}6&|&\frac{8\pi}3\leq2\pi n\leq\frac{25\pi}6\\&|&\\\frac23\leq n\leq\frac{17}{12}&|&\frac43\leq n\leq\frac{25}{12}\\&|&\\n=1&|&n=2\\&|&\\\boxed{x_1=\frac{2\pi}3+2\pi=\frac{8\pi}3}&|&\boxed{x_2=-\frac{2\pi}3+4\pi=\frac{10\pi}3}\end{array}$

Answer 2

Для решения уравнения 6sin^2(x) + 5cos(x) - 2 = 0 на отрезке [2π, 7π/2], давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы переписать косинус и синус в уравнении в одной форме. Заметим, что:

1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1 - это тождество Пифагора. 2. cos(x) = √(1 - sin^2(x)).

Теперь подставим cos(x) в уравнение:

6sin^2(x) + 5√(1 - sin^2(x)) - 2 = 0.

Давайте введем замену, чтобы упростить уравнение. Обозначим sin(x) за t:

6t^2 + 5√(1 - t^2) - 2 = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно t.

Сначала давайте избавимся от корня, возведя обе стороны в квадрат:

(6t^2 + 5√(1 - t^2))^2 = 2^2.

36t^4 + 60t^2(1 - t^2) + 25(1 - t^2) = 4.

Раскроем скобки:

36t^4 + 60t^2 - 60t^4 + 25 - 25t^2 = 4.

Упростим:

-24t^4 + 35t^2 + 21 = 0.

Теперь это уравнение можно решить как квадратное относительно t^2. Введем новую замену, например, u = t^2:

-24u^2 + 35u + 21 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение относительно u. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением или формулой дискриминанта.

a = -24, b = 35, c = 21.

Дискриминант D = b^2 - 4ac:

D = 35^2 - 4*(-24)*21 = 1225 + 2016 = 3241.

Дискриминант положителен, поэтому у нас есть два действительных корня для u:

u1 = (-b + √D) / (2a) = (35 + √3241) / (-48). u2 = (-b - √D) / (2a) = (35 - √3241) / (-48).

Теперь вернемся к t^2, используя обратную замену:

t1 = √u1. t2 = √u2.

Теперь, у нас есть два значения t. Однако, помним, что t = sin(x), и sin(x) лежит в интервале [-1, 1]. Поэтому мы должны выбрать только те значения t, которые лежат в этом интервале.

Теперь решим уравнение для t1 и t2 и отберем только подходящие значения:

1. t1 = √((35 + √3241) / (-48)). 2. t2 = √((35 - √3241) / (-48)).

Вычислим эти значения:

1. t1 ≈ -0.412. 2. t2 ≈ 0.682.

Теперь проверим, какие из этих значений t удовлетворяют условию -1 ≤ t ≤ 1.

Таким образом, единственное допустимое значение t - это t2 ≈ 0.682.

Теперь найдем значения x, соответствующие этому значению t2, используя обратную тригонометрическую функцию:

x = arcsin(t2).

x ≈ arcsin(0.682).

x ≈ 0.739 радиан (примерно 42.4 градуса).

Таким образом, на отрезке [2π, 7π/2] уравнение 6sin^2(x) + 5cos(x) - 2 = 0 имеет один корень, примерно равный 0.739 радиан (или примерно 42.4 градуса).