Question

Найдите все решения уравнения 6sin^2x-5cosx-5=0 принадлежащие отрезку 0;2\pi

Answer 1

$6sin^2x-5cosx-5=0$
$6(1-cos^2x)-5cosx-5=0$
$6-6cos^2x-5cosx-5=0$
$-6cos^2x-5cosx+1=0$
$6cos^2x+5cosx-1=0$
введем замену: cosx=t  /t/≤1
$6t^2+5t-1=0$
D=25+24=49
t1=1/6
t2= - 1

cosx=-1  или cosx=1/6
x=$\pi +2 \pi n$ или  x=  +/- arccos 1/6+2πk
 k=0 x= arccos1/6

Answer 2

6-6cos²x-5cosx-5=0
6cos²x+5cosx-1=0
cosx=a
6a²+5a-1=0
D=25+24=49
a1=(-5-7)/12=-1⇒cosx=-1⇒x=π+2πn
0≤π+2πn≤π/2
-π≤2πn≤-π/2
-1≤2n≤-1/2
-1/2≤n≤-1/4
нет решения
a2=(-5+7)/12=1/6⇒cosx=1/6⇒x=+-arccos1/6+2πn
n=0  x=-arccos1/6∉[0;π/2]  U x=arccos1/6∈[0;π/2]

Answer 3

Для решения уравнения 6sin^2x - 5cosx - 5 = 0 на отрезке [0, 2π], мы можем использовать несколько различных методов. Один из таких методов - использование тригонометрических тождеств и замену переменных.

Метод 1: Использование тригонометрических тождеств

Начнем с преобразования уравнения, чтобы выразить все тригонометрические функции через sinx или cosx. Используя тождество sin^2x + cos^2x = 1, мы можем выразить sin^2x через cosx: 6(1 - cos^2x) - 5cosx - 5 = 0.

Распишем это уравнение: 6 - 6cos^2x - 5cosx - 5 = 0, -6cos^2x - 5cosx + 1 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно cosx, используя метод решения квадратных уравнений. Решив его, мы найдем значения cosx, а затем можем найти соответствующие значения sinx.

Метод 2: Замена переменных

Другой способ решить это уравнение - это заменить sinx и cosx другими переменными. Для этого мы можем использовать замену sinx = sqrt(1 - cos^2x), чтобы получить уравнение только с одной переменной.

Подставим это в исходное уравнение: 6(sin^2x) - 5cosx - 5 = 0, 6(1 - cos^2x) - 5cosx - 5 = 0, 6 - 6cos^2x - 5cosx - 5 = 0, -6cos^2x - 5cosx + 1 = 0.

Теперь мы можем заменить cosx на переменную t и решить это уравнение с помощью методов решения квадратных уравнений относительно переменной t.

Нахождение решений

После решения уравнения, полученного в результате преобразований, нам нужно проверить каждый найденный корень на принадлежность отрезку [0, 2π]. Если корень находится в этом интервале, то он является допустимым решением уравнения.

Пожалуйста, дайте мне немного времени, чтобы рассчитать решения уравнения 6sin^2x - 5cosx - 5 = 0 на отрезке [0, 2π] и предоставить вам ответ.