Question

Тригонометриялык тендеуді шеш: 3 - 3cosx = 2sin²x ​

Answer 1

Відповідь: фото

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения \(3 - 3\cos(x) = 2\sin^2(x)\), мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и алгебраическими преобразованиями. Давайте подробно разберемся с этим уравнением.

Сначала заметим, что можно использовать тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Мы можем выразить \(\cos(x)\) через \(\sin(x)\) с использованием этого тождества:

\[3 - 3\cos(x) = 2(1 - \cos^2(x))\]

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

\[3 - 3\cos(x) = 2 - 2\cos^2(x)\]

Переносим все члены на одну сторону:

\[2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться квадратным уравнением вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = -3\), и \(c = 1\). Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти корни этого уравнения:

\[D = b^2 - 4ac\] \[D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1\]

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у нас есть два действительных корня для этого уравнения. Используя квадратное уравнение, мы можем найти значения \(\cos(x)\):

\[\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[\cos(x) = \frac{3 \pm 1}{4}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(\cos(x)\):

1. \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) 2. \(\cos(x) = \frac{1}{4}\)

Теперь найдем соответствующие значения \(\sin(x)\) для каждого из этих случаев, используя тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

1. Если \(\cos(x) = \frac{1}{2}\), то \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\). Таким образом, \(\sin(x) = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\).

2. Если \(\cos(x) = \frac{1}{4}\), то \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{15}{16}\). Таким образом, \(\sin(x) = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}\).

Итак, у нас есть четыре решения для уравнения \(3 - 3\cos(x) = 2\sin^2(x)\):

1. \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) и \(\sin(x) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\) 2. \(\cos(x) = \frac{1}{4}\) и \(\sin(x) = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}\)