Question

Первообразная. Основное свойство первообразной. Таблица первообразных. Простейшие правила нахождения первообразных​

Answer 1

Ответ:

Первообразная функции - это функция, производная которой равна данной функции. Основное свойство первообразной заключается в том, что любая функция может иметь несколько первообразных, которые отличаются друг от друга на константу. Таблица первообразных содержит формулы для нахождения первообразных наиболее распространенных функций. Простейшие правила нахождения первообразных включают правила линейности, правило замены переменной, а также правила интегрирования элементарных функций, таких как степенные, тригонометрические, логарифмические и экспоненциальные функции.

Answer 2

Первообразная функции является обратной операцией к нахождению производной функции. Если у нас есть функция f(x), то её первообразной обозначается как F(x). Основное свойство первообразной заключается в том, что производная F'(x) первообразной F(x) равна исходной функции f(x):

F'(x) = f(x).

Иными словами, F(x) - это функция, производная которой равна f(x).

Таблица первообразных (или таблица интегралов) содержит некоторые стандартные функции и их соответствующие первообразные. Вот несколько примеров:

1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1 и C - произвольная константа. Это формула для нахождения первообразной для мономов x^n, где n - константа.

2. ∫e^x dx = e^x + C. Это формула для нахождения первообразной для экспоненциальной функции e^x.

3. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C. Это формула для нахождения первообразной для синуса функции sin(x).

4. ∫cos(x) dx = sin(x) + C. Это формула для нахождения первообразной для косинуса функции cos(x).

Простейшие правила нахождения первообразных включают в себя линейность и суммирование:

1. Если F(x) и G(x) - первообразные функций f(x) и g(x) соответственно, то F(x) + G(x) - первообразная функции f(x) + g(x).

2. Если F(x) - первообразная функции f(x), и c - константа, то c * F(x) - первообразная функции c * f(x).

3. Если F(x) - первообразная функции f(x), то F(x) + C - тоже первообразная функции f(x), где C - произвольная константа.

Также существуют более сложные методы нахождения первообразных, такие как метод интегрирования по частям и метод подстановки. Они позволяют находить первообразные для более сложных функций.

Интегрирование (нахождение первообразных) является важной частью математики и имеет множество приложений в физике, инженерии, экономике и других науках.