Question

Вычислите значение выражения 2sin π/6+5ctg^2 π/4+tg π/4+6cos π/3 Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=2sin2x+3cosx-1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) 2sin π/6+5ctg^2 π/4+tg π/4+6cos π/3=2×0,5+5×1²+1+6×0,5=1+5+1+3=10

2) y=2sin2x+3cosx-1

       -1 ≤sin2x≤1

          -2 ≤2sin2x≤2

            -1 ≤cosx≤1

              -2 ≤cosx≤2

                      0≤2sin2x+3cosx≤  4

                                -1≤2sin2x+3cosx-1≤3

Наименьшее значение функции y=2sin2x+3cosx-1  равно  -1

Наибольшее значение функции y=2sin2x+3cosx-1  равно  3

Answer 2

Давайте посчитаем значение выражения и найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

Значение выражения: 2sin(π/6) + 5ctg^2(π/4) + tg(π/4) + 6cos(π/3)

Сначала посчитаем значения тригонометрических функций:

sin(π/6) = 1/2 ctg(π/4) = 1 tg(π/4) = 1 cos(π/3) = 1/2

Теперь подставим эти значения в выражение:

2sin(π/6) + 5ctg^2(π/4) + tg(π/4) + 6cos(π/3) = 2(1/2) + 5(1)^2 + 1 + 6(1/2) = 1 + 5 + 1 + 3 = 10

Таким образом, значение выражения равно 10.

Наименьшее и наибольшее значение функции: y = 2sin^2(x) + 3cos(x) - 1

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции, мы можем использовать методы из анализа функций. Один из способов - найти критические точки, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует. Затем мы можем проверить значения функции в этих точках, а также на краях области определения функции, чтобы найти наименьшее и наибольшее значение.

Давайте найдем производную функции:

y' = 4sin(x)cos(x) - 3sin(x)

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4sin(x)cos(x) - 3sin(x) = 0

Факторизуем:

sin(x)(4cos(x) - 3) = 0

Таким образом, sin(x) = 0 или 4cos(x) - 3 = 0.

Для sin(x) = 0, решениями будут x = 0, π, 2π, ...

Для 4cos(x) - 3 = 0, решением будет cos(x) = 3/4. Тут мы можем использовать обратную функцию косинуса, чтобы найти значения x:

x = arccos(3/4)

Используя калькулятор или таблицы тригонометрических значений, мы можем найти значения x:

x ≈ 0.7227, 2π - 0.7227

Теперь мы должны проверить значения функции в найденных точках и на краях области определения функции, чтобы найти наименьшее и наибольшее значение.

Область определения функции y = 2sin^2(x) + 3cos(x) - 1 - это все действительные числа.

Подставим значения в функцию:

y(0) = 2sin^2(0) + 3cos(0) - 1 = 0 + 3 - 1 = 2 y(π) = 2sin^2(π) + 3cos(π) - 1 = 0 + (-3) - 1 = -4 y(2π) = 2sin^2(2π) + 3cos(2π) - 1 = 0 + 3 - 1 = 2 y(0.7227) ≈ 2sin^2(0.7227) + 3cos(0.7227) - 1 ≈ 0.8463 + 2.5133 - 1 ≈ 2.3596 y(2π - 0.7227) ≈ 2sin^2(2π - 0.7227) + 3cos(2π - 0.7227) - 1 ≈ 0.8463 + 2.5133 - 1 ≈ 2.3596

Таким образом, наименьшее и наибольшее значение функции y = 2sin^2(x) + 3cos(x) - 1 равно -4 и 2 соответственно.