Question

На катете B C прямоугольного треугольника A B C ( ∠ B C A = 90 ° ) выбраны точки M и N так, что ∠ C A M = ∠ M A N = ∠ N A B . Прямая, проходящая через точку M , пересекает отрезки A N и A B в точках E и F соответственно. Найдите A E , если A B = 22 , ∠ A M N = 110 ° , ∠ A F M = 70 ° .

Answer 1

Ответ:

АЕ = 11 ед.

Пошаговое объяснение:

∠CAM = ∠MAN = ∠NAB = х  (дано).

Тогда 3х + ∠В = 90° (1) (сумма острых углов треугольника равна 90°).

В треугольнике АМВ имеем: 2х + ∠В = 180° -110° (2) (сумма внутренних углов треугольника равна 180°).

Вычитаем из (1)  (2) и получаем  х = 20°.

Следовательно, ∠A = 60°, а ∠В = 30°.

Против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

АС = АВ:2 = 11 ед.

В треугольнике АМF угол ∠MAF = 40° (2х), тогда

∠AMF = 180° - 40° - 70°  = 70°.

Таким образом, треугольник MAF - равнобедренный (углы при основании равны) и по свойству равнобедренного треугольника биссектриса АЕ является и высотой, а АМ = AF.

Тогда прямоугольные треугольники АСМ и АЕM равны по гипотенузе и острому углу (АМ - общая, ∠CAM = ∠MAЕ).

Следовательно, АЕ = АС = 11 ед.

Answer 2

Дано: - Катеты b и c прямоугольного треугольника (a = ∠b + ∠c + ∠a = 90°) - Точки m и n такие, что ∠c+a+m = ∠m+a+n = ∠n+a+b - Прямая, проходящая через точку m, пересекает отрезки a+n и a+b в точках e и f соответственно - Известно, что a+b = 22, ∠a+m+n = 110° и ∠a+f+m = 70°

Мы должны найти значение a e.

Решение: Используем свойство углов равнобедренного треугольника, в котором стороны a и b равны. Таким образом, ∠m+a+n = ∠m+a+f = ∠a+f+m = 110°.

Также, у нас есть ∠a+m+n = 110° и ∠a+f+m = 70°. Из этого следует, что ∠m+a+n = ∠n+a+b = ∠m+a+f = 110°.

Треугольник a m n является равнобедренным, поэтому ∠a+m+n = ∠a+n+m = 110°. Так как ∠a+n+m = ∠n+a+b, то ∠n+a+b = 110°.

Теперь мы можем найти значение ∠a+n+b: ∠a+n+b = ∠n+a+b - ∠n+a+m = 110° - 110° = 0°.

Так как ∠a+n+b = 0°, то отрезки a+n и a+b параллельны.

Мы знаем, что a+b = 22, поэтому отрезки a+n и a+b имеют одинаковую длину. То есть, a+n = a+b = 22.

Так как отрезки a+n и a+b параллельны, и a+n = a+b = 22, то отрезки a e и a f также являются равными.

Таким образом, a e = a f = 22/2 = 11.

Ответ: a e = 11.