Question

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] : cosx=√3/2

Answer 1

Ответ:

cosx = -V3/2  ( V - знак корня)

x=5pi/6+2pik,k e Z    U  x=-5pi/6+2pik,k e Z

Теперь нарисуем единичную окружность ( мне кажется, Вам не составит труда это сделать где-нибудь на черновике). Нанесем на неё найденные значения Х - 2 и 3 четверти окружности. Обозначим промежуток

[0; 3pi]и посмотрим, сколько раз на этом промежутке встретятся нам найденные точки. 3 раза. Поскольку двигаться будем в положительном направлении, точку -5pi/6 + 2pik заменим на 7pi/6+2pik.

И вот считаем: нам надо как бы проложить путь из трех Пи.

Отсчитываем от нуля первое Пи: попался корень 5pi/6.

Отсчитываем второе Пи: попался корень 7pi/6

Пришли в точку 2Пи и отсчитываем последнее - третье Пи. Снова попалась точка 5pi/6. Но попалась она после сделанного круга, поэтому 2Пи+5Пи/6=17Пи/6.

Ответ: 5pi/6; 7pi/6; 17pi/6

Answer 2

Для нахождения всех корней уравнения на заданном отрезке [0, 3π], нужно решить уравнение:

cos(x) = √3/2

Сначала найдем все корни этого уравнения на интервале [0, 2π], а затем добавим к этим корням кратные 2π, чтобы учесть отрезок [2π, 3π].

Косинус является функцией, которая имеет период 2π. Это означает, что корни на интервале [0, 2π] будут кратны 2π. Таким образом, мы можем сначала найти корни на интервале [0, 2π], а затем добавить 2π к каждому корню, чтобы получить корни на интервале [2π, 3π].

Находим корни на интервале [0, 2π]:

cos(x) = √3/2

1. x = π/6 (так как cos(π/6) = √3/2) 2. x = 11π/6 (так как cos(11π/6) = √3/2)

Теперь добавим 2π к каждому корню, чтобы учесть отрезок [2π, 3π]:

1. x = π/6 + 2π = π/6 + 12π/6 = 13π/6 2. x = 11π/6 + 2π = 11π/6 + 12π/6 = 23π/6

Таким образом, все корни уравнения cos(x) = √3/2 на интервале [0, 3π] равны: x = π/6, 11π/6, 13π/6, 23π/6.