Question

Найдите производную функции y=x^5+x^2/x+1.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y=\frac{x^5+x^2}{x+1}\\\\y'=\frac{(5x^4+2x)*(x+1)-(x^5+x^2)}{(x+1)^2}=\frac{5x^5+5x^4+2x^2+2x-x^5-x^2}{(x+1)^2} =\frac{4x^5+5x^4+x^2+2x}{(x+1)^2}$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = x^5 + x^2/(x + 1) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (правило Лейбница) и дробной производной.

1. Рассмотрим первое слагаемое: y₁ = x^5. Для нахождения производной высокой степени можно воспользоваться степенным правилом дифференцирования. Производная первого слагаемого: y₁' = d(x^5)/dx = 5x^(5-1) = 5x^4. 2. Рассмотрим второе слагаемое: y₂ = x^2/(x + 1). Для нахождения производной такой функции, содержащей дробь, воспользуемся правилом дифференцирования частного (дифференцирование отдельных слагаемых). Рассмотрим числитель дроби: y₂₁ = x^2. Производная числителя: y₂₁' = d(x^2)/dx = 2x. Рассмотрим знаменатель дроби: y₂₂ = x + 1. Производная знаменателя: y₂₂' = d(x + 1)/dx = 1. Применим правило дифференцирования частного: y₂' = (y₂₁' * y₂₂ - y₂₁ * y₂₂') / (y₂₂^2). y₂' = (2x * (x + 1) - x^2 * 1) / (x + 1)^2 = (2x^2 + 2x - x^2) / (x + 1)^2 = (x^2 + 2x) / (x + 1)^2.

3. Теперь сложим производные двух слагаемых, чтобы получить производную исходной функции: y' = y₁' + y₂' = 5x^4 + (x^2 + 2x) / (x + 1)^2.

Таким образом, производная функции y = x^5 + x^2/(x + 1) равна 5x^4 + (x^2 + 2x) / (x + 1)^2.