Question

В чем разница между теоремой Виета и теоремой, обратной теореме Виета?

Answer 1

Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x2 – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1.  

Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 * 3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.  

 

Обратная Теорема Виета. Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = – p и x1 x2 = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x2 + px + q = 0.  

 

Теорема Виета применяется для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений. Это сокращает время и упрощает решение системы.

Answer 2

Теорема Виета и её обратная версия, известная как обратная теорема Виета, обе связаны с коэффициентами уравнения. Давайте разберём каждую из них:

1. Теорема Виета:

Пусть у нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - это его коэффициенты, а \(x\) - переменная.

Теорема Виета утверждает, что если \(r_1\) и \(r_2\) являются корнями этого уравнения (решениями, при которых уравнение равно нулю), то сумма корней \(r_1 + r_2\) равна \(-\frac{b}{a}\), а их произведение \(r_1 \cdot r_2\) равно \(\frac{c}{a}\).

То есть, если у нас есть уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\) с корнями \(r_1\) и \(r_2\), то \(r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}\) и \(r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a}\).

2. Обратная теорема Виета:

Обратная теорема Виета работает в другую сторону. Предположим, у нас есть квадратное уравнение, и мы знаем сумму корней (\(r_1 + r_2\)) и их произведение (\(r_1 \cdot r_2\)).

Обратная теорема Виета утверждает, что если \(S\) - это сумма корней (\(r_1 + r_2\)), а \(P\) - их произведение (\(r_1 \cdot r_2\)), то мы можем найти уравнение с этими корнями. Для квадратного уравнения это будет уравнение вида \(x^2 - Sx + P = 0\).

Таким образом, если у нас есть сумма корней \(S\) и их произведение \(P\), мы можем построить квадратное уравнение с этими корнями.

Таким образом, основное различие между теоремой Виета и обратной теоремой Виета заключается в том, что первая работает от уравнения к его корням, предоставляя связь между коэффициентами и корнями уравнения, в то время как вторая работает от корней к уравнению, позволяя построить уравнение на основе суммы и произведения этих корней.