Question

Делится ли сумма 9²⁰¹⁹+5²⁰¹⁹ на 4. Прошу обосновать ответ

Answer 1

Сделаем замену. Пусть 2019 = n, тогда выражение примет вид: 9^n + 5^n.

Для ответа на вопрос будем подставлять вместо n различные нечётные числа, так как 2019 - нечётное число.

Пусть n = 1, тогда выражение примет вид: 9 + 5 = 14 - не делится на 4.

Пусть n = 3, тогда выражение примет вид: 729 + 125 = 854 - не делится на 4.

Пусть n = 5, тогда выражение примет вид: 59049 + 3125 = 62174 - не делится на 4.

Делаем вывод: сумма 9²⁰¹⁹ + 5²⁰¹⁹ не делится на 4.

Answer 2

Чтобы определить, делится ли сумма \(9^{2019} + 5^{2019}\) на 4, нам нужно рассмотреть остаток от деления этой суммы на 4. Если остаток равен нулю, то сумма делится на 4.

Давайте рассмотрим остатки от деления некоторых чисел на 4:

1. \(9^n\): Остатки от деления степеней числа 9 на 4 образуют периодическую последовательность: 1, 1, 1, 1, ..., где все остатки равны 1. Это означает, что \(9^n\) делится на 4 для любого натурального \(n\), так как \(4 \cdot k + 1\) всегда делится на 4.

2. \(5^n\): Остатки от деления степеней числа 5 на 4 образуют периодическую последовательность: 1, 1, 1, 1, ..., где все остатки также равны 1. Это означает, что \(5^n\) также делится на 4 для любого натурального \(n\).

Теперь, если мы рассмотрим сумму \(9^{2019} + 5^{2019}\), то каждый из слагаемых делится на 4. Поэтому их сумма также будет делиться на 4.

Итак, сумма \(9^{2019} + 5^{2019}\) действительно делится на 4.