Question

Дано точки A(-1;5;-10), B(5;-7;8), C(2;2;-7), D(5;-4;2). довести що ABCD трапеція

Answer 1

Определим векторы AB и  CD .

AB{ 5-(-1) ; -7-5 ; 8 -( -10) }   или   AB{ 6;-12;18 } ;
 CD{5-2 ; -4 - 2;  2-(-7)}    или   CD{ 3; -6;9};

AB = (-2)  CD  или   AB = 2*DC    ;
следовательно
AB  ||  DC .

Answer 2

Для доказательства того, что ABCD является трапецией, нам нужно показать, что стороны AB и CD параллельны, но не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой).

Для начала, мы можем найти векторы AB, BC, CD и DA, используя координаты точек A, B, C и D:

AB = B - A = (5, -7, 8) - (-1, 5, -10) = (5 + 1, -7 - 5, 8 + 10) = (6, -12, 18) BC = C - B = (2, 2, -7) - (5, -7, 8) = (2 - 5, 2 + 7, -7 - 8) = (-3, 9, -15) CD = D - C = (5, -4, 2) - (2, 2, -7) = (5 - 2, -4 - 2, 2 + 7) = (3, -6, 9) DA = A - D = (-1, 5, -10) - (5, -4, 2) = (-1 - 5, 5 + 4, -10 - 2) = (-6, 9, -12)

Теперь мы можем проверить параллельность сторон AB и CD, вычислив их векторное произведение и проверив, равно ли оно нулю:

AB x CD = (6, -12, 18) x (3, -6, 9) = ((-12 * 9) - (-6 * 18), (6 * 9) - (18 * 3), (6 * (-6)) - (-12 * 3)) = (-108 + 108, 54 - 54, -36 + 36) = (0, 0, 0)

Векторное произведение AB x CD равно нулю, что означает, что стороны AB и CD параллельны.

Теперь нам нужно показать, что стороны AB и CD не являются коллинеарными, то есть не лежат на одной прямой. Для этого можно проверить, что векторное произведение BC x DA не равно нулю:

BC x DA = (-3, 9, -15) x (-6, 9, -12) = ((9 * (-12)) - (9 * (-15)), ((-3) * (-12)) - ((-15) * (-6)), ((-3) * 9) - ((-15) * (-6))) = (108 - 135, 36 - 90, -27 + 90) = (-27, -54, 63)

Векторное произведение BC x DA не равно нулю, что означает, что стороны AB и CD не коллинеарны и не лежат на одной прямой.

Таким образом, мы показали, что стороны AB и CD параллельны, но не являются коллинеарными, что доказывает, что ABCD является трапецией.