Question

Обчислити площу фігури, обмежену даними лініями: у=3-х^2, y=2 СРОЧНО

Answer 1

Відповідь: 1 1/3

Покрокове пояснення: фото

Answer 2

Решение:

Вначале найдем точки пересечения двух графиков функций (рисунок ниже):

$3-x^2=2\\\\x^2=1 \\\\\left[\begin{array}{ccc}x_1=-1\\x_2=1\end{array}\right$

То есть, эти точки будут иметь координаты $(1;2)$ и $(-1;2)$.

А теперь вспомним формулу Ньютона-Лейбница:

$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

В данном случае $f(x) = (3-x^2)-(2) = 1 - x^2$. $a=-1$ и $b=1$ (по вычислениям, проведенным раньше).

Считаем интеграл!

$\displaystyle \int\limits^1_{-1} { \Big ( 1 - x^2 \Big )} \, dx = \bigg ( \frac{x^{0+1}}{0+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} \bigg ) \; \Big | ^1_{-1} = \bigg ( x - \frac{x^{3}}{3} \bigg ) \; \Big | ^1_{-1} = \\\\\= \bigg (1 - \frac{1^3}{3} \bigg ) - \bigg ((-1) - \frac{(-1)^3}{3} \bigg ) = \frac{2}{3} - \bigg ( - \frac{2}{3} \bigg ) = \frac{4}{3}$

Задача решена!

Ответ:

$\dfrac{4}{3}$ , $1\dfrac{1}{3}$ или $1,(3)$.

Answer 3

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої заданими лініями, у = 3 - х^2 та у = 2, ми можемо скористатися методом інтегрування. Оскільки ми маємо дві функції залежності у від х, ми можемо знайти точки перетину цих функцій, щоб визначити межі інтегрування. Спочатку знайдемо точки перетину функцій, прирівнявши їх: 3 - х^2 = 2 Віднімемо 2 з обох боків: -х^2 = -1 Множимо обидва боки на -1: х^2 = 1 Застосовуємо квадратний корінь до обох боків: х = ±1 Таким чином, ми маємо дві точки перетину: (-1, 2) та (1, 2). Тепер, ми можемо використати інтегрування для обчислення площі фігури. Оскільки ми маємо дві функції, ми можемо розділити фігуру на два сегменти та обчислити площу кожного сегмента окремо. Сегмент 1: Від -1 до 1 Площа першого сегмента може бути обчислена як інтеграл від функції y = 3 - х^2 до y = 2 з х = -1 до х = 1. Ми можемо записати це як: S1 = ∫[from -1 to 1] (2 - (3 - x^2)) dx S1 = ∫[from -1 to 1] (x^2 - 1) dx Ми обчислимо цей інтеграл: S1 = [(x^3/3) - x] [from -1 to 1] S1 = [(1/3 - 1) - ((-1/3) - (-1))] S1 = [(1/3 - 1) + (1/3 + 1)] S1 = [(-2/3) + (4/3)] S1 = 2/3 Сегмент 2: Від 1 до -1 Площа другого сегмента може бути обчислена як інтеграл від функції y = 2 до y = 3 - х^2 з х = 1 до х = -1. Ми можемо записати це як: S2 = ∫[from 1 to -1] ((3 - x^2) - 2) dx S2 = ∫[from 1 to -1] (x^2 + 1) dx Ми обчислимо цей інтеграл: S2 = [(x^3/3) + x] [from 1 to -1] S2 = [(-1/3 + 1) - ((1/3) + 1)] S2 = [(-1/3 + 1) + (-1/3 - 1)] S2 = [2/3 - 4/3] S2 = -2/3 Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = 3 - х^2 та у = 2, дорівнює сумі площ двох сегментів: S = S1 + S2 S = 2/3 + (-2/3) S = 0 Отже, площа фігури дорівнює 0.