Question

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 6. Медиана CM перпендикулярна медиане AK. Найдите катеты и третью медиану.

Answer 1

Ответ:

AC = 2√3, BC = 2√6, BN = 3√3

Пошаговое объяснение:

Пусть третья медиана — BN, точка пересечения медиан — O.

Проведём KM₁ || CM. ∠AOM = ∠AKM₁ = 90°, ∠AMO = ∠AM₁K как соответственные ⇒ ΔAOM и ΔAKM₁ подобны ⇒ AM : AM₁ = AO : AK = 2 : 3 (по свойству медиан) ⇒ OM : KM₁ = 2 : 3.

CM — медиана, проведённая из прямого угла, CM = AB/2 = 3. CO : OM = 2 : 1 ⇒ OM = 2CM/3 = 1 ⇒ KM₁ = 3OM/2 = 3/2.

KM₁ || CM, CK = KB ⇒ MM₁ = M₁B = (AB/2) / 2 = AB/4. Тогда AM₁ = AM + MM₁ = AB/2 + AB/4 = 3AB/4 = 9/2. ΔAKM₁ — прямоугольный ⇒ $AK=\sqrt{AM_1^2-KM_1^2}=\sqrt{(\frac{9}{2})^2-(\frac{3}{2})^2}=3\sqrt{2}$.

AO : OK = 2 : 1 ⇒ AO = 2√2, CO : OM = 2 : 1 ⇒ CO = 2. ΔAOC — прямоугольный ⇒ $AC=\sqrt{AO^2+OC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+2^2}=2\sqrt{3}$. Тогда $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}$, $BN=\sqrt{BC^2+CN^2}=\sqrt{BC^2+(\frac{AC}{2})^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2+\sqrt{3}^2}=3\sqrt{3}$.

Answer 2

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника ABC, c - гипотенуза, m - медиана, и k - точка пересечения медиан. Так как гипотенуза ab равна 6, то можно использовать теорему Пифагора, чтобы найти значения a и b: a^2 + b^2 = c^2 a^2 + b^2 = 6^2 a^2 + b^2 = 36 Медиана cm перпендикулярна медиане ak, поэтому отрезок cm является высотой треугольника ABC. Так как медиана разделяет сторону на две равные части, то отрезок cm равен половине отрезка ak. Теперь найдем длину медианы ak. Для этого воспользуемся формулой для длины медианы треугольника: ak = 2/3 * sqrt(2 * b^2 + 2 * c^2 - a^2) Так как cm равна половине отрезка ak, то сm = ak / 2. Найдем длину третьей медианы bm. Так как треугольник ABC - прямоугольный, то bm = c / 2. Таким образом, мы можем найти значения катетов a и b и третьей медианы bm с помощью данных формул.