Question

Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4 и 15 дает равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. Почему 246 не подходит?

Answer 1

По модулю 4 и 15 число имеет одинаковые остатки, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 60, причём этот остаток не равен нулю и меньше шести. Таким образом, искомое число может иметь вид:

60n+1 60n+2 60n+3 60n+4 60n+5


При n=1 получаем: 61, 62, 63, 64, 65. Все эти числа не являются трёхзначными.
При n=2 получаем: 121, 122, 123, 124, 125. Число 123 удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 123, 543, 963.

Answer 2

Пусть искомое трехзначное число имеет вид XYZ, где X, Y и Z - цифры числа. Условие задачи говорит, что при делении на 4 и 15 число даёт равные ненулевые остатки. Нам известно, что кратные 4 числа оканчиваются на 0, 4, 8. Поскольку остатки должны быть ненулевыми, то трехзначное число XYZ должно оканчиваться на 4. Также, мы знаем, что кратные 15 числа оканчиваются на 0 или 5. Остатки должны быть равными, значит трехзначное число XYZ не может оканчиваться на 0 или 5. Рассмотрим вариант, когда трехзначное число XYZ оканчивается на 4. В таком случае оно может быть равно 104, 124, 134, 144, 164, 174, 184, 194, 204, 214, 224, 234, 244, 264, 274, 284, 294, 304, 314, 324, 334, 344, 354, 364, 374, 384, 394, 404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494, 504, 514, 524, 534, 544, 554, 564, 574, 584, 594, 604, 614, 624, 634, 644, 654, 664, 674, 684, 694, 704, 714, 724, 734, 744, 754, 764, 774, 784, 794, 804, 814, 824, 834, 844, 854, 864, 874, 884, 894. Теперь проверим каждое из этих чисел на условие "средняя цифра является средним арифметическим крайних цифр": 104: не выполнено (1 != (0 + 4)/2) 124: не выполнено (2 != (1 + 4)/2) 134: не выполнено (3 != (1 + 4)/2) 144: выполнено (4 = (1 + 4)/2) ... Таким образом, получаем, что число 144 удовлетворяет всем условиям задачи. Почему число 246 не подходит? Чтобы число подходило под условия задачи, необходимо, чтобы остатки от деления числа на 4 и 15 были равными, а средняя цифра являлась средним арифметическим крайних цифр. В числе 246 средняя цифра равна 4, однако при делении его на 4 и 15 остатки не равны. Поэтому число 246 не подходит.