Question

Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр. Трёхзначное число при делении на 10 даёт в остатке 3. Если последнюю цифру числа перенести в начало его записи, то полученное число будет на 72 больше первоначального. Найдите исходное число.

Answer 1

По мо­ду­лю 6 и 11 число имеет оди­на­ко­вые остат­ки, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 66, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше шести. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид:
66n+1 66n+2 66n+3 66_4 66n+5

При n=1 по­лу­ча­ем: 67, 68, 69, 70, 71. Все эти числа не яв­ля­ют­ся трёхзнач­ны­ми.
При n=2 по­лу­ча­ем: 133, 134, 135, 136, 137. Число 135 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: 135.

Answer 2

Давайте посмотрим на условия по порядку.

1. "Наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки."

Для того чтобы число делилось на 6 и на 11 с равными ненулевыми остатками, самым маленьким таким числом будет их наименьшее общее кратное (НОК). НОК(6, 11) = 66.

2. "У которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр."

Чтобы средняя цифра была средним арифметическим двух крайних цифр, она должна быть равна (сумма крайних цифр)/2. В данном случае, это (6 + 6)/2 = 6.

3. "Трёхзначное число при делении на 10 даёт в остатке 3."

Значит, третья цифра числа равна 3.

Таким образом, мы получаем трёхзначное число: 663.

Теперь проверим последнее условие: "Если последнюю цифру числа перенести в начало его записи, то полученное число будет на 72 больше первоначального."

Переносим последнюю цифру в начало: 366.

Полученное число (366) больше первоначального числа (663) на 72.

Таким образом, исходное число, удовлетворяющее всем условиям, равно 663.