Question

Найдите целые корни и разложите на множители 2)х^3+9х^2+11x-21

Answer 1

Ответ:(х-1)(х+3)(х+7)

Пошаговое объяснение:  х³+9х²+11х-21

Т.к. свободный член равен -21, то множители этого числа могут быть корнями.По таблице Горнера или делением данного многочлена на один из множителей  (х-1); (х+1); (х-3); (х+3); (х-7); (х+7) без остатка можно получить произведение одной из этих скобок на квадратный трёхчлен, который в свою очередь можно разложить ещё на два множителя, найдя его корни через дискрименант.

Можно также получить этот корень, подставляя в заданное выражение по очереди числа 1; -1; 3; -3; 7; -7, и выяснить, когда выражение будет равно  0:

при х=1      1+9+11-21=0, значит х=1 является корнем,

при х= -1    -1+9-11-21<0,

при х=3    27+81+33-21>0,

при х= -3   -27+81-33-21=0, значит х= -3 является  корнем,

при х=7     343+441+77-21>0,

при х= -7    -343+441-77-21=0, значит х= -7 является  корнем.

Таким образом х³+9х²+11х-21=(х-1)(х+3)(х+7).

Ответ: (х-1)(х+3)(х+7).

Answer 2

Для нахождения целых корней и разложения на множители многочлена \(x^3 + 9x^2 + 11x - 21\), мы можем воспользоваться теоремой Рацио, а также использовать остаточную теорему для поиска целых корней. 1. Сначала давайте проверим, существуют ли целые корни (целочисленные решения) этого многочлена. Воспользуемся теоремой Рацио. Согласно этой теореме, если многочлен имеет целый корень \(a\), то \(a\) должен делить свободный член многочлена, а именно -21. Возможные целые корни многочлена: \(a = \pm1, \pm3, \pm7, \pm21\). Попробуем их по очереди. a) Подставим \(a = 1\): \[1^3 + 9\cdot1^2 + 11\cdot1 - 21 = 0\] Таким образом, \(a = 1\) является целым корнем. 2. Теперь мы можем разделить исходный многочлен на \((x - 1)\), используя синтетическое деление или деление полиномов: \[ \begin{array}{rrrrr} & x^2 & +10x & +21 \\ \hline x - 1 & x^3 & +9x^2 & +11x & -21 \\ & \downarrow & -x^3 & +x^2 & \\ & & 10x^2 & +11x & \\ & & 10x^2 & -10x & \\ & & & 21x & -21 \\ & & & 21x & -21 \\ & & & & 0 \\ \end{array} \] Мы видим, что исходный многочлен разделился на \((x - 1)\) без остатка. 3. Теперь мы можем записать многочлен в виде произведения множителей: \[x^3 + 9x^2 + 11x - 21 = (x - 1)(x^2 + 10x + 21)\] 4. Далее, рассмотрим второй множитель \(x^2 + 10x + 21\), который также является квадратным многочленом. Мы можем попробовать найти его корни. Для этого рассмотрим уравнение \(x^2 + 10x + 21 = 0\) и попробуем его решить. Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию: \[x^2 + 10x + 21 = (x + 7)(x + 3)\] Таким образом, второй множитель раскладывается на множители как \((x + 7)(x + 3)\). Итак, полное разложение многочлена \(x^3 + 9x^2 + 11x - 21\) на множители: \[x^3 + 9x^2 + 11x - 21 = (x - 1)(x + 7)(x + 3)\] Таким образом, целые корни этого многочлена -1, 3 и -7, а разложение на множители дано выше.