Question

Найти все натуральные числа а и в, для которых НОД и НОК равны соответственно 120и180

Answer 1

Таких чисел нет.

Заметим, что оба числа должны делиться на НОД, а НОК делится на каждое из чисел, значит, НОК делится на НОД. Но 180 не делится на 120, поэтому так не бывает.

Answer 2

Для того, чтобы найти все натуральные числа а и в, для которых НОД и НОК равны соответственно 120 и 180, нужно сначала разложить эти числа на простые множители. Это можно сделать с помощью онлайн-калькуляторов или самостоятельно. Разложение на простые множители выглядит так:

120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 180 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5

Затем нужно воспользоваться формулами для НОД и НОК:

НОД(a, b) = произведение всех общих простых множителей a и b, взятых в наименьшей степени НОК(a, b) = произведение всех простых множителей a и b, взятых в наибольшей степени

Подставляя в эти формулы значения 120 и 180, получаем:

НОД(a, b) = 120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 НОК(a, b) = 180 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5

Отсюда следует, что числа а и в должны иметь вид:

a = 2^x * 3^y * 5^z b = 2^u * 3^v * 5^w

где x, y, z, u, v, w - натуральные числа или нули.

Так как НОД(a, b) = произведение всех общих простых множителей a и b, взятых в наименьшей степени, то необходимо, чтобы x >= u, y >= v и z >= w. Тогда НОД(a, b) = 2^u * 3^v * 5^w.

Так как НОК(a, b) = произведение всех простых множителей a и b, взятых в наибольшей степени, то необходимо, чтобы x <= u, y <= v и z <= w. Тогда НОК(a, b) = 2^x * 3^y * 5^z.

Сравнивая эти условия с разложениями чисел 120 и 180 на простые множители, получаем:

u = x = v = y = z = w = 1

То есть единственное решение задачи - это a = b = 30.