Question

(1+x^2)y''=2y'xпомогите плз ДУ ВПопределить тип и найти общее решение​

Answer 1

Ответ:

Дифференциальное уравнение 2 порядка, допускающее понижение порядка.

$(1+x^2)\cdot y''=2y'\cdot x\ \ ,\ \ \ F(x,y',y'')=0\ \ \to \ \ y'=p(x)\ ,\ y''=p'(x)\\\\(1+x^2)\cdot p'=2\, p\, x\\\\\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{2\, p\, x}{1+x^2}\ \ ,\ \ \ \int \dfrac{dp}{p}=\int \dfrac{2x\, dx}{1+x^2}\ ,\\\\\\ln\, |p|=ln\, |1+x^2|+ln\, C_1\\\\|p|=C_1\cdot (1+x^2)\ \ ,\ \ \ p=\pm C_1\cdot (1+x^2)\ ,\\\\\dfrac{dy}{dx}=\pm C_1\cdot (1+x^2)\\\\\\\int dy=\pm C_1\int (1+x^2)\, dx\\\\y=\pm C_1\cdot \Big(x+\dfrac{x^3}{3}\Big)+C_2$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит следующим образом: (1 + x^2)y'' = 2xy' Чтобы найти общее решение этого уравнения, давайте сначала определим его тип. Это уравнение является линейным, однородным и имеет постоянные коэффициенты. Также оно является уравнением с постоянными коэффициентами. Поэтому мы можем воспользоваться методом поиска решения с постоянными коэффициентами. Для начала представим y(x) в виде степенного ряда: y(x) = ∑(a_n * x^n) где ∑ означает сумму по всем целым n. Затем выразим производные y' и y'': y'(x) = ∑(n * a_n * x^(n-1)) y''(x) = ∑(n * (n-1) * a_n * x^(n-2)) Теперь мы можем подставить эти выражения в исходное уравнение и разложить его: (1 + x^2)y'' = 2xy' (1 + x^2) * ∑(n * (n-1) * a_n * x^(n-2)) = 2x * ∑(n * a_n * x^(n-1)) Подставляем выражения и умножаем суммы на (1 + x^2): ∑(n * (n-1) * a_n * x^n + n * (n-1) * a_n * x^(n)) = 2x * ∑(n * a_n * x^(n-1)) Теперь сгруппируем подобные члены: ∑(n * (n-1) * a_n * x^n) + ∑(n * (n-1) * a_n * x^(n)) = 2x * ∑(n * a_n * x^(n-1)) Теперь мы можем выразить коэффициенты a_n для каждого n: n * (n-1) * a_n + n * (n-1) * a_n = 2 * a_n Упростим это выражение: 2n * (n-1) * a_n = 2 * a_n Теперь делим обе стороны на 2a_n (предполагая, что a_n ≠ 0): 2n * (n-1) = 2 n * (n-1) = 1 n^2 - n - 1 = 0 Это квадратное уравнение для n. Мы можем решить его с использованием формулы для нахождения корней: n = (1 ± √5) / 2 Таким образом, у нас есть два корня: n₁ = (1 + √5) / 2 и n₂ = (1 - √5) / 2. Поэтому общее решение уравнения будет иметь следующий вид: y(x) = ∑(a_n * x^n) = a₁ * x^(1+√5)/2 + a₂ * x^(1-√5)/2 где a₁ и a₂ - произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий или дополнительных ограничений.