Question

Найдите объем конуса, если его образующая равна l, а осевым сечением является прямоугольный треугольник.

Answer 1

Ответ:

$V=\frac{\sqrt{2} }{12}\pi$

Пошаговое объяснение:

Рисунок к задаче на фото.

По условию задачи осевым сечением является прямоугольный треугольник, а образующая равна 1.

Значит осевым сечением является равнобедренный прямоугольный треугольник. Гипотенуза этого треугольника является диаметром основания. На рисунке это АВ.

По теореме Пифагора

$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{2}$

Радиус основания

$HB=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2} }{2}$

В равнобедренном прямоугольном треугольнике, высота, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы.

Высота конуса

$CH=HB=\frac{\sqrt{2} }{2}$

Вычислим объем конуса

$V=\frac{1}{3}\pi HB^2*CH=\frac{1}{3}\pi ( \frac{\sqrt{2} }{2})^2*\frac{\sqrt{2} }{2} =\frac{2*\sqrt{2} }{3*4*2}\pi=\frac{\sqrt{2} }{12}\pi$

Answer 2

Объем конуса можно найти по формуле: V = (1/3) * π * r^2 * h, где V - объем конуса, π - число Пи (приближенно равно 3.14), r - радиус основания конуса, h - высота конуса. В данном случае, если осевым сечением является прямоугольный треугольник, то его образующая равна гипотенузе треугольника, а высота равна одному из катетов. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой l и катетами a и b, выполняется соотношение: l^2 = a^2 + b^2. Так как гипотенуза равна образующей конуса, то l = r, а катеты a и b равны радиусу и высоте конуса соответственно. Подставим значения в формулу объема конуса: V = (1/3) * π * r^2 * h = (1/3) * π * r^2 * √(l^2 - r^2). Таким образом, объем конуса с образующей l и осевым сечением в виде прямоугольного треугольника равен (1/3) * π * r^2 * √(l^2 - r^2).