Question

X^2-3y^2+2xyy'=0, y(2)=1.

Answer 1

$x^2-3y^2+2xyy'=0\\ -3\dfrac{y^2}{x^4}+2\dfrac{yy'}{x^3}=-\dfrac{1}{x^2}\\ \dfrac{-3}{x^4}*y^2+\dfrac{1}{x^3}*2yy'=-\dfrac{1}{x^2}\\ (\dfrac{1}{x^3}*y^2)'_x=-\dfrac{1}{x^2}\\ \dfrac{1}{x^3}*y^2=-\int\dfrac{1}{x^2}dx\\ \dfrac{1}{x^3}*y^2=\dfrac{1}{x}+C_1\\ y^2=x^2+C_1x^3\\y=\pm\sqrt{x^2+C_1x^3} \\ y(2)=1=>1=\pm\sqrt{2^2+C_1*2^3} =>C_1=-\dfrac{3}{8}, y>=0\\ y=\sqrt{x^2-\dfrac{3}{8}x^3}$

Answer 2

Для данного уравнения, которое является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка, рассмотрим метод дифференцирования, который поможет найти решение. Имеем уравнение: x^2 - 3y^2 + 2xyy' = 0. Для начала продифференцируем уравнение по переменной x при условии, что y - функция x: (d/dx)(x^2 - 3y^2 + 2xyy') = (d/dx)(0). Сокращаем запись: (x^2)' - (3y^2)' + (2xyy')' = 0. Производные: 2x - (6yy' + 6yy') + (2xyy'' + 2y'y + 2y'y') = 0. Дальше сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые производные: 2x - 12yy' + 2xyy'' + 4y'y + 2y'y' = 0. Уравнение можно упростить: 2x - 12yy' + 2xyy'' + 6y'y + 2y'y' = 0. Теперь из начального условия y(2) = 1 мы можем найти значение y' в точке x=2, подставив его в полученное уравнение. Подставим x=2, y=1: 4 - 12(y') + 4y'' + 6y' + 2(y')^2 = 0. Сократим уравнение на 2: 2 - 6(y') + 2y'' + 3y' + (y')^2 = 0. Далее можно продолжить анализировать полученное уравнение и искать его решение например, используя метод Вальдемара или другие подходы, чтобы найти функцию y(x). Однако, в данном случае это не всегда будет возможным, так как уравнение является нелинейным.