Question

Найти частный интеграл дифференциального уравнения второго порядка методом неопределенных коэффициентов y''+y=2cosx, y(0)=0, y'(0)=1

Answer 1

Ответ:

у=(х+1)sinx

Пошаговое объяснение:

Детали на вложенном фото; проверка не проводилась.

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка методом неопределенных коэффициентов, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти общее решение однородного уравнения y'' + y = 0, путем решения характеристического уравнения r^2 + 1 = 0. Корни этого уравнения имеют вид r = ±i, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид y_h = C_1 cos x + C_2 sin x, где C_1 и C_2 - произвольные постоянные. 2. Найти частное решение неоднородного уравнения y'' + y = 2 cos x, путем подбора такого решения в виде y_p = A cos x + B sin x, где A и B - неопределенные коэффициенты. Подставив это решение в исходное уравнение, получим: (A cos x + B sin x)'' + (A cos x + B sin x) = 2 cos x, или -A cos x - B sin x + A cos x + B sin x = 2 cos x. Отсюда следует, что -A = 2, или A = -2, и B = 0. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид y_p = -2 cos x. 3. Найти общее решение неоднородного уравнения y'' + y = 2 cos x, путем сложения общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Получим: y = y_h + y_p = C_1 cos x + C_2 sin x - 2 cos x. 4. Найти конкретные значения постоянных C_1 и C_2, путем подстановки начальных условий y(0) = 0 и y'(0) = 1 в общее решение неоднородного уравнения. Получим: y(0) = C_1 - 2 = 0, или C_1 = 2; y'(0) = C_2 - 2 sin 0 = 1, или C_2 = 1. Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с начальными условиями имеет вид y = 2 cos x + sin x - 2 cos x, или y = sin x.

Для более подробной информации о методе неопределенных коэффициентов и примерах решений дифференциальных уравнений второго порядка, вы можете посмотреть следующие ссылки: [пошаговый калькулятор](https://mathdf.com/dif/ru/), [пример частного решения](https://math.semestr.ru/math/example-differential.php), [примеры общих решений](http://mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_vtorogo_poryadka.html).