Question

докажите что биссектрисы внешнего угла А треугольника ABC вписанного в окружность, параллельна хорде соединяющей середины дуг AB и AC

Answer 1

Пусть  ∠C = 2α.  Тогда  ∠ABD = ∠ACD = ½ (180° – 2α) = 90° – α.  Но и  ∠BAD = 180° – 2α – (90° – α) = 90° – α,  то есть треугольник ADB равнобедренный.

Answer 2

Для доказательства того, что биссектрисы внешнего угла A треугольника ABC, вписанного в окружность, параллельны хорде, соединяющей середины дуг AB и AC, давайте рассмотрим следующие шаги: 1. Обозначим точки: - O - центр окружности, - M - середина дуги AB, - N - середина дуги AC, - P - точка пересечения биссектрисы внешнего угла A с окружностью, - D - середина хорды MN. 2. Докажем, что треугольник AMP и треугольник ANP подобны. Для этого заметим, что угол MAP и угол NAP - это половины внешних углов при вершинах M и N соответственно, и эти углы равны, так как они равны половине центрального угла MON. 3. Поскольку треугольники AMP и ANP подобны, мы можем использовать соотношение подобия для их сторон: AM / AN = AP / AP. 4. Заметим, что AP / AP = 1, так как это одна и та же точка. 5. Таким образом, AM / AN = 1, что означает, что AM = AN. 6. Теперь рассмотрим треугольник ADO, где O - центр окружности, D - середина хорды MN. По построению, отрезок OD - радиус окружности, и он одинаков для всех треугольников. 7. Из предыдущих шагов мы знаем, что AM = AN, поэтому треугольник ADO является равнобедренным треугольником, и AO - биссектриса угла A. 8. Теперь мы видим, что биссектриса угла A параллельна хорде MN, так как она проходит через середину этой хорды. Таким образом, мы доказали, что биссектрисы внешнего угла A треугольника ABC, вписанного в окружность, параллельны хорде, соединяющей середины дуг AB и AC.