Question

Помогите пожалуйста. Найдите область значений функции у=-х²-4х+1, где х∈[-2;1]

Answer 1

Ответ:

У∈[-4;5]

Пошаговое объяснение:

Чтобы найти область значений, нужно посчитать игрик от данного икс. Нам дан промежуток х∈[-2;1], значит нужно считать у(-2) и у(1) плюс вершина параболы, так как парабола - чётный график (имеет симметрию относительно Оу), и мы можем найти не минимальный игрик. Вершина высчитывается по формуле -b/2a=4/-2=-2

У нас так вышло, что край промежутка совпал с вершиной.

у=-х²-4х+1, коэффициент А отрицательный => ветви параболы направлены вниз => Унаим будет в точке 1, а Унаиб в точке -2.

$y( - 2) = - { ( - 2)}^{2} - 4 \times ( - 2) + 1 = \\ = - 4 + 8 + 1 = 5$

$y(1) = - {1}^{2} - 4 \times 1 + 1 = \\ = - 1 - 4 + 1 = - 4$

Получился промежуток от -4 до 5.

Answer 2

Областью значений функции является множество всех возможных значений функции при различных значениях аргумента. Для нахождения области значений данной функции у = -х² - 4х + 1, где х ∈ [-2; 1], мы должны проанализировать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента в указанном интервале. В данном случае, чтобы найти область значений, мы должны найти максимальное или минимальное значение функции у в заданном интервале. Первым шагом найдем вершину параболы, так как функция данной формы является параболой ветвями вниз. Для этого воспользуемся формулой аргумента графика вершины параболы: х = -b/2a. В нашем случае, a = -1 и b = -4, поэтому х = -(-4)/(2*(-1)) = -4/(-2) = 2. Теперь, чтобы найти значение у, подставим найденное значение х в исходную функцию: у = -(2)² - 4(2) + 1 = -4 - 8 + 1 = -11. Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -11). Теперь мы можем проанализировать, как меняется значение функции в интервале [-2; 1]. При подстановке х = -2 в исходную функцию получаем у = -(-2)² - 4(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5. При подстановке х = 1 в исходную функцию получаем у = -(1)² - 4(1) + 1 = -1 - 4 + 1 = -4. Исходя из этих результатов, областью значений данной функции у = -х² - 4х + 1, где х ∈ [-2; 1], является множество всех значений у из интервала [-11; 5].