Question

Среди натуральных чисел от 121 до 144 найдите все числа, у которых ровно четыре натуральных делителя

Answer 1

Ответ:

122, 123, 125, 129, 133, 134, 141, 142, 143

Пошаговое объяснение:

Если разложение на простые множители числа N имеет вид $N=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$, то у него ровно $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\dots(\alpha_k+1)$ делителей: в самом деле, все делители получатся, если в разложении независимо менять показатели степеней на 0, 1, 2, ..., α.

Применив это, получаем, что нужно найти все числа, имеющие вид $p^3$ или pq, где p, q - различные простые числа.

С кубами всё просто - в рассматриваемый промежуток попадает только 125.

Разбираемся с остальными, уже выкинуты 125 и 121 - квадрат 11:

121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144

Выкидываем простые:

121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144

Выкидываем делящиеся на 4:

121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144

Выкидываем делящиеся на 9:

121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144

Остальные можно проверить непосредственно, отсеются 130 = 2 * 5 * 13 и 138 = 2 * 3 * 23.

Answer 2

Число называется "совершенным квадратом", если у него ровно четыре натуральных делителя. Натуральные делители - это числа, на которые данное число делится без остатка. Давайте рассмотрим числа в интервале от 121 до 144: 121 = 11^2 Делители: 1, 11, 121 122 - не является совершенным квадратом, так как у него всего два делителя (1 и 122). 123 - не является совершенным квадратом, так как у него всего два делителя (1 и 123). 124 - не является совершенным квадратом, так как у него всего четыре делителя (1, 2, 62, 124), но не ровно четыре. 125 = 5^3 Делители: 1, 5, 25, 125 126 - не является совершенным квадратом, так как у него всего шесть делителей (1, 2, 3, 6, 21, 42). 127 - не является совершенным квадратом, так как у него всего два делителя (1 и 127). 128 = 2^7 Делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 129 - не является совершенным квадратом, так как у него всего четыре делителя (1, 3, 43, 129), но не ровно четыре. 130 - не является совершенным квадратом, так как у него всего восемь делителей (1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130). 131 - не является совершенным квадратом, так как у него всего два делителя (1 и 131). 132 - не является совершенным квадратом, так как у него всего шесть делителей (1, 2, 3, 4, 6, 11). 133 - не является совершенным квадратом, так как у него всего четыре делителя (1, 7, 19, 133), но не ровно четыре. 134 - не является совершенным квадратом, так как у него всего восемь делителей (1, 2, 67, 134). 135 = 3^3 * 5 Делители: 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 136 - не является совершенным квадратом, так как у него всего восемь делителей (1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136). 137 - не является совершенным квадратом, так как у него всего два делителя (1 и 137). 138 - не является совершенным квадратом, так как у него всего шесть делителей (1, 2, 3, 6, 23, 46). 139 - не является совершенным квадратом, так как у него всего два делителя (1 и 139). 140 - не является совершенным квадратом, так как у него всего восемь делителей (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 28). 141 - не является совершенным квадратом, так как у него всего четыре делителя (1, 3, 47, 141), но не ровно четыре. 142 - не является совершенным квадратом, так как у него всего четыре делителя (1, 2, 71, 142), но не ровно четыре. 143 - не является совершенным квадратом, так как у него всего четыре делителя (1, 11, 13, 143), но не ровно четыре. 144 = 12^2 Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144 Итак, единственным числом в заданном интервале, у которого ровно четыре натуральных делителя, является 144.