Question

Найти общий интеграл однородного ДУ первого порядка x²y'=2xy-y²

Answer 1

Пусть  $y=ux$, тогда по правилу дифференцирования произведения двух функций  $y'=u'x+u$. В результате получим

$x^2(u'x+u)=2x^2u-u^2x^2\\ \\ u'x+u=2u-u^2\\ \\ u'x=u-u^2$ уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{u-u^2}{x} ~~~\Rightarrow~~ \frac{du}{u-u^2} = \frac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~ \frac{du}{0.25-(u-0.5)^2}= \frac{dx}{x} \\ \\ \\ \int \frac{du}{0.5^2-(u-0.5)^2}=\int \frac{dx}{x} ~~~\Rightarrow~~~\ln\bigg| \frac{u}{1-u} \bigg|=\ln|x|+\ln C\\ \\ \frac{u}{1-u}=Cx$

Получили общий интеграл уравнения относительно u.

Возвращаемся к обратной замене:  $u= \frac{y}{x}$, получим

$\dfrac{ \frac{y}{x} }{1- \frac{y}{x} }=Cx~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{y}{x-y} =Cx$ 

Получили общий интеграл............

Answer 2

Для нахождения общего интеграла данного однородного дифференциального уравнения первого порядка, мы будем использовать метод разделяющихся переменных.

Данное уравнение имеет вид: x²y'=2xy-y²

Сначала приведем его к дифференциалу:

x²y' - 2xy + y² = 0

Перепишем это уравнение в виде:

x²dy - 2xydx + y²dx = 0

Поделим обе части уравнения на x², чтобы перейти к виду:

dy/x - 2ydx/x + y²dx/x² = 0

Сгруппируем и расставим члены:

(dy/x) - 2(ydx/x) + (y²dx/x²) = 0

Теперь разделим уравнение на dy:

(1/x)dx - 2(y/x)dx + (y²/x²)dx = 0

(xdx - 2ydx + y²dx) / (x³) = 0

(dx(x - 2y + y²)) / (x³) = 0

Таким образом, получаем интегрируемое уравнение:

dx/(x(x - 2y + y²)) = 0

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫dx/(x(x - 2y + y²)) = ∫0

Для упрощения интеграла воспользуемся частичным разложением на простейшие дроби:

dx/(x(x - 2y + y²)) = A/x + B/(x - y) + C/(x - y)²

Найдем коэффициенты A, B и C:

1 = A(x - y)² + Bx(x - y) + Cx

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

При x⁰: 1 = -Ay² -> A = -1/y²
При x: 0 = -2Ay -> A = 0
При x²: 0 = A + B -> B = 0

Таким образом, получаем:

dx/(x(x - 2y + y²)) = -1/(y²x)dx

∫dx/(x(x - 2y + y²)) = -∫1/(y²x)dx

∫dx/(x(x - 2y + y²)) = -1/y² ∫dx/x

ln|x(x - 2y + y²)| = -1/y² ln|x| + C

x(x - 2y + y²) = e^-(1/y² ln|x| + C)

x(x - 2y + y²) = e^(-ln|x|/y² - C)

x(x - 2y + y²) = e^(ln|x|/-y²) * e^-C

x(x - 2y + y²) = |x|^-1/y² * e^-C

x(x - 2y + y²) = 1/(|x|^(1/y²) * e^C)

Таким образом, общим интегралом однородного дифференциального уравнения будет:

x(x - 2y + y²) = C/(|x|^(1/y²))

где C - произвольная постоянная.