Question

Дано: х - натуральное число. Число X(в степени n) - 1 простое число. Доказать, что х=2. Доказать,что n тоже простое число.

Answer 1

Как-то так :)
var a:integer;beginreadln(a);if a>0 then a:=a+1else a:=a-2;writeln(a);end.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте разберемся с обоими частями задачи по отдельности. 1. Доказательство того, что x = 2: Дано, что X^n - 1 является простым числом. Первое, что мы можем заметить, это то, что X должно быть больше 1, так как X^n - 1 всегда равно 0, когда X = 1. Теперь предположим, что X > 2. Тогда X^n - 1 можно представить как разность двух степеней: X^n - 1 = (X - 1)(X^(n-1) + X^(n-2) + ... + X + 1) Теперь давайте обратим внимание на правую часть уравнения. Если X > 2, то каждый член в скобках, начиная со второго и заканчивая предпоследним, будет больше или равен 2. Следовательно, их сумма также будет больше или равна 2. Первый член скобки равен (X - 1), и так как X > 2, то X - 1 тоже больше 1. Таким образом, правая часть уравнения будет больше 2, и, следовательно, X^n - 1 не может быть простым числом. Это приводит нас к выводу, что X должно быть равно 2, иначе X^n - 1 не может быть простым числом. Таким образом, мы доказали, что x = 2. 2. Доказательство того, что n тоже простое число: Теперь, когда мы знаем, что x = 2, мы можем переписать исходное уравнение как 2^n - 1. Если n не является простым числом, то мы можем разложить 2^n - 1 в произведение меньших чисел. Если n = a * b, где a и b - положительные целые числа, такие что 1 < a < n и 1 < b < n, то: 2^n - 1 = 2^(a*b) - 1 = (2^a)^b - 1 Теперь мы можем использовать разность квадратов: (2^a)^b - 1 = (2^a)^b - 1^b = (2^a)^b - 1^b = (2^a)^b - 1^b = (2^a - 1)((2^a)^(b-1) + (2^a)^(b-2) + ... + 1) Поскольку a < n, то (2^a - 1) и ((2^a)^(b-1) + (2^a)^(b-2) + ... + 1) являются положительными целыми числами больше 1, и их произведение не может быть простым числом. Это противоречит нашему исходному предположению, что 2^n - 1 является простым числом. Следовательно, мы приходим к выводу, что n должно быть простым числом, и доказали, что и n - простое число.