Question

Сумма геометрической прогрессии, у которой модуль q < 1 равен 9, а сумма квадратов её члена равен 40,5. Найдите 5 член прогрессии.

Answer 1

Ответ:

2/27

Пошаговое объяснение:

S1 = b1/(1 - q) = 9 - сумма исходной геометрической прогрессии

bn = b(n-1) * q

у квадратов: (bn)² = (b(n-1))² * q² => q2 = q²;

S2 = b1²/(1 - q²) = 40.5 - сумма квадратов членов исходной прогрессии

$\dfrac{b_1 * b_1}{(1 - q)(1+q)} =\dfrac{b_1}{1-q}*\dfrac{b_1}{1+q} = \dfrac{9b_1}{1+q}=40,5\\\\\dfrac{b_1}{1+q}=4,5\\\\b_1 = 4,5 + 4,5q$

с другой стороны:

$b_1 = 9 - 9q\\\\9 - 9q = 4,5 + 4,5q\\\\13,5q = 4,5\\\\q=\dfrac{1}{3} \\\\b_1 = 9 - 3 = 6\\\\b_5 = b_1 * q^4 = \dfrac{6}{3^4}=\dfrac{2}{27}$

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель – q.
Так как модуль q меньше 1, то ряд сходится и можно использовать формулу для суммы геометрической прогрессии:

S = a / (1 - q),

где S – сумма геометрической прогрессии.

Из условия задачи известно, что S = 9:

9 = a / (1 - q).

Также известно, что сумма квадратов членов геометрической прогрессии равна 40,5:

40,5 = a² / (1 - q²).

Можно заметить, что a² = S * (S - a), так как a² – это квадрат первого члена, а (S - a) – это сумма всех членов, кроме первого.

Используя это равенство и подставляя значения из условия, получим:

40,5 = 9 * (9 - a) / (1 - q²).

Раскроем скобки и упростим уравнение:

40,5 = (9 - a) / (1 + q) * (9 - a) / (1 - q).

Умножим числитель и знаменатель дроби (9 - a) / (1 + q) на (1 - q) и сократим:

40,5 = (9 - a) * (1 - q) / (1 - q²).

Раскроем скобки и упростим уравнение:

40,5 = 9 - 9q - a + aq / (1 - q²).

Домножим обе части уравнения на (1 - q²) и приведём подобные слагаемые:

40,5 - 40,5q² = 9(1 - q²) - 9q - a + aq.

Упростим выражение:

0 = 9 - 9q² - 9q + 9q² - a + aq.

9q = a.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

9 = a / (1 - q),
9q = a.

Решением этой системы является a = 9q и q = 1/10.

Теперь можно найти пятый член прогрессии, используя формулу для n-го члена геометрической прогрессии:

an = a * q^(n - 1).

Подставляем значения:

a5 = (9q) * (1/10)^(5 - 1) = 9 * (1/10)^4 = 9/10^4 = 9/10000.

Ответ: пятый член прогрессии равен 9/10000.