Question

При каком значении a система x+ay=1, x-y=2 имеет единственное рещение?

Answer 1

$\begin{cases}x+ay=1\\x-y=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y+2+ay=1\\x=y+2\end{cases}\\\\\\y+2+ay=1\\(1+a)y=-1$

Последнее выражение имеет смысл при любых a ≠ -1.

Тогда и система имеет решение при $a\in(-\infty;\;-1)\cup(-1;\;+\infty)$

Answer 2

Для того чтобы система уравнений имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы два уравнения системы были независимыми (то есть не могли быть получены путем умножения одного из них на константу и сложения с другим). Рассмотрим систему уравнений x + ay = 1 и x - y = 2. Переформулируем второе уравнение в виде y = x - 2. Подставим это выражение для y в первое уравнение: x + a(x - 2) = 1. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: (1 + a)x - 2a = 1. Перенесем все слагаемые с x на одну сторону: (1 + a)x = 1 + 2a. Выразим x: x = (1 + 2a) / (1 + a). Система имеет единственное решение, если коэффициент при x не обращается в ноль, то есть 1 + a ≠ 0. Поэтому из условия задачи имеем: 1 + a ≠ 0. Отсюда следует, что значение a не должно быть равно -1. Таким образом, при любом значении a, кроме a = -1, система x + ay = 1, x - y = 2 имеет единственное решение.