Question

В шахматной партии за выигрыш игрок получает 1 очко, за ничью — полочка, за проигрыш — 0 очков. Известно, что 20% участников шахматного турнира после его окончания имеют 0 очков. Сколько партий было сыграно, если каждый сыграл с каждым из остальных по одному разу?

Answer 1

Ответ:

10

Если все игроки играют друг с другом, значит 0 очков в конце соревнований может получить только 1 игрок из всех. Значит, 20% - это 1 человек, а 100% - 5 человек. Чтобы 5 человек сыграли друг с другом, нужно провести 10 партий =)

Answer 2

Давайте предположим, что в шахматном турнире участвовало N игроков. Каждый игрок играл с каждым из остальных игроков по одному разу.

Количество партий в турнире можно вычислить, используя сочетания. Сочетание из N элементов по 2 будет представлять собой количество партий, в которых участвовали все игроки. Формула для числа сочетаний из N элементов по 2 выглядит так:

C(N, 2) = N! / (2!(N - 2)!),

где N! обозначает факториал числа N.

Теперь мы знаем, что 20% участников турнира имеют 0 очков, а остальные (80%) имеют баллы за свои партии. Если N - количество игроков, которые имеют 0 очков, то 0.2N = количество игроков с 0 очками, а 0.8N = количество игроков с баллами.

Каждая партия, в которой один из игроков имеет 0 очков, дает 0 баллов (проигрыш). Каждая партия, в которой оба игрока имеют баллы, дает 1 балл (выигрыш). Таким образом, общее количество баллов, заработанных в турнире, можно выразить как:

0.2N * 0 (за проигрыши игроков с 0 очками) + 0.8N * 1 (за выигрыши игроков с баллами).

Это равно количеству партий в турнире, так как каждая партия дает 1 балл.

Теперь у нас есть два выражения для количества партий в турнире:

1. Количество партий как число сочетаний из N элементов по 2. 2. Количество партий как сумма баллов, заработанных в турнире.

Приравниваем их:

C(N, 2) = 0.2N * 0 + 0.8N * 1.

Теперь решим уравнение:

N(N - 1) / 2 = 0.8N.

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

N(N - 1) = 1.6N.

Раскроем скобки:

N^2 - N = 1.6N.

Переносим все члены на одну сторону:

N^2 - 1.6N - N = 0.

N^2 - 2.6N = 0.

Теперь решим квадратное уравнение:

N(N - 2.6) = 0.

Таким образом, у нас есть два возможных значения N:

1. N = 0 (но это не может быть, так как в турнире должны участвовать хотя бы два игрока). 2. N = 2.6.

Так как N - целое число (количество игроков), то единственным подходящим значением N является N = 3. То есть в турнире участвовало 3 игрока, и каждый из них сыграл с каждым из остальных по одному разу.