Question

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: y²+x-4=0 x-2y-1=0 Желательно с пояснением. Если что через определенный интеграл. Хелп, плиз. Дарю все баллы.

Answer 1

{y²+x-4=0
{x-2y-1=0
1)найдём пересечения графиков
х=2у+1
у²+2у+1-4=0
у²+2у-3=0
у=(-2±4)/2=-1±2
у1=-3;у2=1
х1=-5;х2=3
А(-5;-3) ;В(3;1)

2)у²=-х+4
|у|=√(-х+4)
-х+4≥0
х≤-4
х=0;у=2 пересечения оу.
у=0;х=4 пересечения ох.

2)х-2у-1=0
2у=х-1
у=(х-1)/2
прямая линия
s1=S(-5 4)(-√(-x+4)dx=18

s2=S(-(x-1)/2)dx=-1/2(x-1)²/2
(-5 1)=
1/4*36=9

s=s1-s2=18-9=9

Answer 2

Чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной двумя данными кривыми, в данном случае, линиями y² + x - 4 = 0 и x - 2y - 1 = 0, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Сначала нам нужно определить точки их пересечения, чтобы затем построить соответствующий интеграл.

1. Найдем точки пересечения кривых: Для этого решим систему уравнений: y² + x - 4 = 0 x - 2y - 1 = 0

Сначала выразим x из второго уравнения: x = 2y + 1

Подставим это значение x в первое уравнение: y² + (2y + 1) - 4 = 0

Теперь решим это уравнение: y² + 2y - 3 = 0

Факторизуем его: (y + 3)(y - 1) = 0

Получаем два возможных значения y: y₁ = -3 и y₂ = 1

Теперь найдем соответствующие значения x, используя x = 2y + 1: Для y₁: x₁ = 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5 Для y₂: x₂ = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3

Таким образом, точки пересечения кривых - (-5, -3) и (3, 1).

2. Теперь мы можем построить интеграл для нахождения площади между этими двумя кривыми. Площадь будет равна интегралу разности этих функций вдоль x-оси в пределах от x = -5 до x = 3:

Площадь = ∫[от -5 до 3] (2y + 1 - y² - (x - 2y - 1)) dx

Теперь у нас есть два способа выразить y через x, поэтому мы можем продолжить:

Площадь = ∫[от -5 до 3] (2y + 1 - y² - (x - 2y - 1)) dx Площадь = ∫[от -5 до 3] (2y + 1 - y² - x + 2y + 1) dx Площадь = ∫[от -5 до 3] (3y - y² - x + 2) dx

Теперь интегрируем это по x в пределах от -5 до 3:

Площадь = [3xy - (x²/2) - (y³/3) + 2x] от -5 до 3

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = (3*3*1 - (3²/2) - (1³/3) + 2*3) - (3*(-5) - ((-5)²/2) - ((-3)³/3) + 2*(-5))

Площадь = (9 - 4.5 - 1/3 + 6) - (-15 - 12.5 + 27/3 - 10)

Площадь = (9 - 4.5 - 1/3 + 6) - (-15 - 12.5 + 9 - 10)

Площадь = (9 - 4.5 - 1/3 + 6) + (15 + 12.5 - 9 + 10)

Площадь = (19.5 - 1/3 + 6) + (28.5 - 9 + 10)

Площадь = (25 - 1/3) + (28.5 - 9 + 10)

Площадь = 25 - 1/3 + 29.5

Площадь = 54 - 1/3

Итак, площадь между кривыми y² + x - 4 = 0 и x - 2y - 1 = 0 равна 53 2/3 (или 161/3) квадратных единиц.