Question

Помогите решить дифуравнение x(1+y^2 )+y(1+x^2 )y'=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим дифференциальное уравнение:

x(1+y^2) + y(1+x^2)y' = 0

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Для этого давайте выразим y' через y и x:

x(1+y^2) + y(1+x^2)y' = 0

y(1+x^2)y' = -x(1+y^2)

Теперь разделим переменные, перемещая все члены с y и y' на одну сторону, а члены с x на другую:

y' = (-x(1+y^2)) / (y(1+x^2))

Теперь мы можем разделить y и y' на одной стороне и x на другой:

(y / y(1+x^2)) dy = (-x(1+y^2)) dx

Мы видим, что y и y^2 в числителе и знаменателе сокращаются:

(1 / (1+x^2)) dy = (-x(1+y^2)) dx

Теперь давайте проинтегрируем обе стороны этого уравнения:

∫(1 / (1+x^2)) dy = ∫(-x(1+y^2)) dx

Левая сторона уравнения дает нам арктангенс:

arctan(y) = ∫(-x(1+y^2)) dx

Теперь мы можем интегрировать правую сторону:

arctan(y) = ∫(-x - xy^2) dx

arctan(y) = (-1/2)x^2 - (1/2)x*y^2 + C

Где C - произвольная константа интеграции.

Теперь давайте выразим y в исходном уравнении. Для этого возьмем обратный тангенс от обеих сторон:

y = tan(arctan(y)) = tan((-1/2)x^2 - (1/2)x*y^2 + C)

Таким образом, y выражается как функция x и константы C. Это общее решение данного дифференциального уравнения.