Question

Даны вершины треугольника АВС . Требуется найти : а)косинус внутреннего угла при указанной вершине треугольника б) площадь треугольника АВС А ( 3, -1, 2) В (-1, 2, 0 ) С (0, 4, 5) , угол при С. Подробный ответ.

Answer 1

Определяем длины сторон треугольника, а затем используем формулы косинуса угла С и формулу Герона для определения площади.

 Расчет длин сторон    

c АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²) = √29 ≈ 5,385165,

a BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) = √30 ≈ 5,477226,  

b AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = √43 ≈ 6,557439.

cos C = (a² + b² - c²)/(2ab) = (30 + 43 - 29)/(2*√30*√43) = 0,61253.

S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)).  Полупериметр р = 8,709914.

Подставив данные, получаем S = 14,195.

Можно использовать векторный способ.

→АВ = (-4; 3; -2),   →АС = (-3; 5; 3).

Найдем векторное произведение векторов:  

c = a × b  =

i       j        k

ax ay az

bx by bz

 =  

i j k

-4 3 -2

-3 5 3

 = i (3·3 - (-2)·5) - j ((-4)·3 - (-2)·(-3)) + k ((-4)·5 - 3·(-3)) =  

= i (9 + 10) - j (-12 - 6) + k (-20 + 9) = {19; 18; -11}.

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(19² + 18² + (-11)²) = √(361 + 324 + 121) =   √806.

Найдем площадь треугольника:  S =  (1/2)√806 ≈  14.195.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо найти косинус внутреннего угла при вершине C и площадь треугольника ABC. Для этого сначала найдем векторы AB и AC, а затем используем их для вычисления косинуса угла и площади треугольника.

1. Найдем векторы AB и AC: Вектор AB = B - A = (-1, 2, 0) - (3, -1, 2) = (-4, 3, -2) Вектор AC = C - A = (0, 4, 5) - (3, -1, 2) = (-3, 5, 3)

2. Найдем скалярное произведение векторов AB и AC: AB * AC = (-4, 3, -2) * (-3, 5, 3) = (-4 * -3) + (3 * 5) + (-2 * 3) = 12 + 15 - 6 = 21

3. Найдем длины векторов AB и AC: |AB| = √((-4)^2 + 3^2 + (-2)^2) = √(16 + 9 + 4) = √29 |AC| = √(-3)^2 + 5^2 + 3^2) = √(9 + 25 + 9) = √43

4. Теперь мы можем найти косинус угла при вершине C, используя формулу скалярного произведения и длин векторов: cos(∠C) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|) = 21 / (√29 * √43)

5. Вычислим значение косинуса угла при вершине C: cos(∠C) = 21 / (√29 * √43) ≈ 0.4465

6. Чтобы найти угол при вершине C, можно воспользоваться обратной тригонометрической функцией arccos (арккосинус): ∠C = arccos(0.4465) ≈ 63.69 градусов (округлено до двух знаков после запятой).

7. Найдем площадь треугольника ABC с помощью половины векторного произведения AB и AC: S = (1/2) * |AB x AC| Где AB x AC - векторное произведение AB и AC.

8. Найдем векторное произведение AB и AC: AB x AC = (-4, 3, -2) x (-3, 5, 3) AB x AC = ((3 * 3 - 5 * -2), (-4 * 3 - (-3) * -2), (-4 * 5 - 3 * 3)) AB x AC = (9 - 10, -12 + 6, -20 - 9) AB x AC = (-1, -6, -29)

9. Теперь найдем площадь треугольника ABC: S = (1/2) * |AB x AC| = (1/2) * √((-1)^2 + (-6)^2 + (-29)^2) S = (1/2) * √(1 + 36 + 841) S = (1/2) * √878 S ≈ 16.65 (округлено до двух знаков после запятой).

Таким образом, косинус угла при вершине C составляет примерно 0.4465, а площадь треугольника ABC примерно равна 16.65. Угол при вершине C примерно равен 63.69 градусов.