Question

Как решить (sinx)^(-3)=cosx

Answer 1

$\sin^3x\cos x=1\\ \cos x(1-\cos^2x)|\sqrt{1-\cos^2x}|=1$

Пусть $\cos x=t$, тогда получим $t(1-t^2)|\sqrt{1-t^2}|=1$

Так как ОДЗ уравнения [-1;1], то модуль можно убрать

$t(1-t^2)\sqrt{1-t^2}=1$

$t(1-t^2)^{3/2}=1$

Рассмотрим функцию $f(t)=t(1-t^2)^{3/2}$. Множество значений функции : $E(f)=[-\frac{3\sqrt{3}}{16};\frac{3\sqrt{3}}{16}]$ - это можно показать с помощью производной.

И очевидно, что $\frac{3\sqrt{3}}{16}$, тогда график функции $f(t)=t(1-t^2)^{3/2}$ с прямой y=1 не будет иметь общих точек, следовательно, уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Answer 2

Для решения уравнения \((\sin x)^{-3} = \cos x\), начнем с преобразования выражения так, чтобы обе стороны содержали только одну тригонометрическую функцию. В данном случае, у нас есть \(\sin x\) и \(\cos x\), которые связаны следующим тригонометрическим тождеством:

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).

Отнимем \(\cos^2 x\) от обеих сторон уравнения:

\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\).

Теперь замените \(\sin^2 x\) в вашем уравнении на \(1 - \cos^2 x\):

\((1 - \cos^2 x)^{-3} = \cos x\).

Теперь возвести обе стороны уравнения в -1/3 степень (это эквивалентно извлечению кубического корня):

\((1 - \cos^2 x)^{-1} = \cos^{1/3} x\).

Теперь выразим \(\cos x\) из левой стороны уравнения:

\(\cos x = (1 - \cos^2 x)^{1/3}\).

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной \(\cos x\), которое нужно решить. Для этого можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или использовать графические средства, чтобы найти приближенное значение \(\cos x\), удовлетворяющее уравнению.

Решение этого уравнения аналитически в виде простой формулы может быть довольно сложным из-за наличия степени -1/3 в уравнении, и, как правило, требует численных методов для нахождения приближенных значений.