Question

Найти ЦЕЛЫЕ корни уравнения (x²-9x)(x²-9x-12)=160

Answer 1

(x²-9x)(x²-9x-12)=160
x²-9x=t
t(t-12)=160
t²-12t-160=0
D=144+640=784=28²
t=(12±28)/2=6±14
t1=20;t2=-8
1)x²-9x-20=0
D=81+80=161
x=(9±√161)/2
x=(9+√161)/2
x=(9-√161)/2
значения этих корней
не являются целыми числами

2)x²-9x+8=0
D=81-32=49=7²
x=(9±7)/2
x1=8;x2=1
ответ 1;8

Answer 2

x²-9x-6=t; (t+6)(t-6)=160; t²-36=160; t²=196; t=14 или - 14

1) x²-9x-6=14; x²-9x-20=0; D=81+80=161 - не является полным квадратом, поэтому корни не будут целыми и следовательно они нас не интересуют.

2) x²-9x-6= - 14; x²-9x+8=0; (x-8)(x-1)=0; x=8 или x=1

Ответ: {8; 1}

Answer 3

Для того чтобы найти целые корни уравнения $(x^2 - 9x)(x^2 - 9x - 12) = 160$, мы начнем с раскрытия скобок и упростим уравнение:

$$(x^2 - 9x)(x^2 - 9x - 12) = 160$$

Сначала умножим многочлены:

$$x^4 - 9x^3 - 12x^2 - 9x^3 + 81x^2 + 108x = 160$$

Теперь объединим подобные члены:

$$x^4 - 18x^3 + 69x^2 + 108x = 160$$

Далее, переносим все члены в левую часть уравнения:

$$x^4 - 18x^3 + 69x^2 + 108x - 160 = 0$$

Теперь наша задача - найти целые корни этого уравнения. Для начала, мы можем заметить, что 1 - это один из корней этого уравнения, так как $1^4 - 18 \cdot 1^3 + 69 \cdot 1^2 + 108 \cdot 1 - 160 = 1 - 18 + 69 + 108 - 160 = 0$. Значит, $(x - 1)$ - это один из множителей уравнения.

Теперь давайте разделим уравнение на $(x - 1)$, используя синтетическое деление:

   1 | 1  -18   69  108  -160
        1   -17   52   160
   -------------------------
       1   -17   52   220

Таким образом, после деления на $(x - 1)$, у нас остается уравнение:

$$x^3 - 17x^2 + 52x + 220 = 0$$

Теперь попробуем найти целые корни для этого кубического уравнения. Мы можем применить метод подбора делителей для свободного члена 220 и использовать рациональный корень для кратности.

Делители числа 220 включают 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 и само число 220. Теперь, мы можем попробовать эти делители как возможные значения для $x$ в уравнении и проверить, являются ли они корнями:

1. Попробуем $x = 1$: $1^3 - 17 \cdot 1^2 + 52 \cdot 1 + 220 = 1 - 17 + 52 + 220 = 256$, что не равно нулю.

2. Попробуем $x = 2$: $2^3 - 17 \cdot 2^2 + 52 \cdot 2 + 220 = 8 - 68 + 104 + 220 = 264$, что также не равно нулю.

3. Попробуем $x = 4$: $4^3 - 17 \cdot 4^2 + 52 \cdot 4 + 220 = 64 - 272 + 208 + 220 = 220$, что равно нулю.

Таким образом, $x = 4$ - целый корень уравнения. Теперь мы можем разделить уравнение на $(x - 4)$, используя синтетическое деление:

   4 | 1  -17   52  220
        4   -52   0
   -------------------
       1   -13   0

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

$$x^2 - 13x = 0$$

Факторизуем его:

$$x(x - 13) = 0$$

Таким образом, у нас есть два дополнительных целых корня: $x = 0$ и $x = 13$.

Итак, целые корни уравнения $(x^2 - 9x)(x^2 - 9x - 12) = 160$ равны $x = 0$, $x = 4$ и $x = 13$.