Question

Найдите сумму: А) 1+2+3+....+n B) 2+4+6+....+2n C) 1+3+5+....+(2n-1)

Answer 1

А) По формуле суммы натурального ряда, 1+2+...+n=n(n+1)/2.
б) Пользуясь результатом предыдущего шага, 2+4+...+2n=2*(1+2+...+n)=2n(n+1)/2=n(n+1).
в) Легко проследить закономерность из сумм: 1=1^2, 1+3=4=2^2, 1+3+5=9=3^2, и Т.д. , тогда, например, если n=4, то 2*4-1=7, и результатом суммирования будет: 1+3+...+(2n-1)=1+3+5+7=16=4^2, то есть, в общем случае,
1+3+...+(2n-1)=n^2.

Answer 2

Чтобы найти сумму каждой из последовательностей, воспользуемся формулами для сумм арифметической и арифметической прогрессии.

Сумма последовательности A: 1 + 2 + 3 + .... + n

Эта последовательность является арифметической прогрессией с первым элементом a = 1, разностью d = 1 и количеством элементов n.

Формула для суммы арифметической прогрессии: S = (n/2)(a + l), где S - сумма, n - количество элементов, a - первый элемент, l - последний элемент.

В данной последовательности последний элемент l равен n, так как каждый следующий элемент на 1 больше предыдущего. Подставим значения в формулу:

S = (n/2)(1 + n) = (n^2 + n)/2

Сумма последовательности B: 2 + 4 + 6 + .... + 2n

Эта последовательность также является арифметической прогрессией с первым элементом a = 2, разностью d = 2 и количеством элементов n.

Применим формулу для суммы арифметической прогрессии:

S = (n/2)(a + l), где S - сумма, n - количество элементов, a - первый элемент, l - последний элемент.

В данной последовательности последний элемент l равен 2n. Подставим значения в формулу:

S = (n/2)(2 + 2n) = n(1 + n)

Сумма последовательности C: 1 + 3 + 5 + .... + (2n-1)

Эта последовательность также является арифметической прогрессией с первым элементом a = 1, разностью d = 2 и количеством элементов n.

Применим формулу для суммы арифметической прогрессии:

S = (n/2)(a + l), где S - сумма, n - количество элементов, a - первый элемент, l - последний элемент.

В данной последовательности последний элемент l равен (2n-1). Подставим значения в формулу:

S = (n/2)(1 + (2n-1)) = n^2

Таким образом, сумма последовательности A равна (n^2 + n)/2, сумма последовательности B равна n(1 + n), а сумма последовательности C равна n^2.