Question

12. Дан многочлен Р(Х)=Х(в4степени)+аХ(в3степени)+bХ+с, а, b, c ∈ R. Докажите, что не существует действительных чисеk а, b, с, при которых многочлен Р(Х) делится без остатка на многочлен Q(Х) = Х(в 3 степени) - Х.

Answer 1

Чтобы делиться на произведение нужно делиться на каждый сомножитель, а исходный многочлен на х не желится.

Answer 2

Для доказательства, что не существует действительных чисел a, b, c, при которых многочлен Р(Х) делится без остатка на многочлен q(Х) = Х в 3 степени - Х, мы можем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что существуют действительные числа a, b, c, для которых многочлен Р(Х) делится без остатка на многочлен q(Х).

Это значит, что при подстановке Х в качестве корня многочлена q(Х), он обращается в ноль.

Подставим Х = 0 в многочлен q(Х):

q(0) = 0 в 3 степени - 0 = 0

Таким образом, ноль является корнем многочлена q(Х).

Но когда мы подставляем Х = 0 в многочлен Р(Х), мы получаем:

Р(0) = (0 в 4 степени) + a(0 в 3 степени) + b(0) + c = c

То есть, если Р(Х) делится без остатка на q(Х), то c должно быть равно нулю, чтобы существовали действительные числа a, b, c.

Однако, это противоречит нашему предположению о существовании действительных чисел a, b, c.

Следовательно, не существует действительных чисел a, b, c, при которых многочлен Р(Х) делится без остатка на многочлен q(Х) = Х в 3 степени - Х.