Question

Опишите подробно как найти производную от sin^2(7x). P.s. синус в квадрате.

Answer 1

(xᵃ)' = ax⁽ᵃ⁻¹⁾;

y=sin²7x;

y'=2*sin⁽²⁻¹⁾7x*(sin7x)'=2sin7x(sin7x)'=2sin7x*(7cos7x);

Дальше уже не производная, а просто тригонометрия двойного угла:

7*(2sin7x*cos7x)=7sin(2*7x)=7sin14x;

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции \(y = \sin^2(7x)\), где \(\sin^2\) обозначает квадрат синуса, мы воспользуемся цепным правилом дифференцирования, так как у нас есть композиция функций: сначала синус, а затем возведение в квадрат.

Шаг 1: Найдем производную внешней функции (квадрат синуса).

Пусть \(u = \sin(7x)\), тогда \(y = u^2\). Используем стандартное правило дифференцирования \(y = u^n\), где \(n\) - константа:

\(\frac{dy}{du} = 2u^{(2-1)} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot \frac{du}{dx}\).

Шаг 2: Теперь найдем производную внутренней функции (синуса).

Пусть \(v = 7x\), тогда \(u = \sin(v)\). Снова применяем стандартное правило дифференцирования:

\(\frac{du}{dv} = \cos(v) \cdot \frac{dv}{dx} = \cos(7x) \cdot 7 = 7\cos(7x)\).

Шаг 3: Подставим результаты обоих шагов обратно в выражение для производной:

\(\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \frac{du}{dx} = 2\sin(7x) \cdot 7\cos(7x) = 14\sin(7x)\cos(7x)\).

Итак, производная функции \(y = \sin^2(7x)\) равна \(14\sin(7x)\cos(7x)\).