Question

2. Знайти інтервали монотонності функції: y = x³ - 3x² +1 ​

Answer 1

Ответ:

$\bf y=x^3-3x^2+1$  

Найдём стационарные точки из уравнения  $\bf y'=0$   .  

$\bf y'=3x^2-6x=0\ \ ,\ \ \ 3x\, (x-2)=0\ \ ,\ \ \ x_1=0\ ,\ \ x_2=2$  

Знаки производной :   $\bf +++(0)---(2)+++$  

Функция возрастает при   $\bf x\in (-\infty ;\ 0\ ]$  и   $\bf x\in [\ 2\ ;+\infty )$   .

Функция убывает при   $\bf x\in [\ 0\ ;\ 2\ ]$   .

Экстремумы заданной функции :

точка максимума   $\bf x_{max}=0\ \ ,\ \ y_{max}=y(0)=1$   ,

точка минимума   $\bf x_{min}=2\ \ ,\ \ \ y_{min}=y(2)=8-12+1=-3$   .      

Answer 2

Для того чтобы найти интервалы монотонности данной функции y = x³ - 3x² + 1, нужно проанализировать ее производную и найти ее нули.

1. Найдем производную функции y по x. Для этого используем правило дифференцирования степенной функции: y' = 3x² - 6x

2. Найдем нули производной функции, т.е. значения x, при которых y' = 0: 3x² - 6x = 0 x(3x - 6) = 0

Из этого уравнения мы получаем два возможных значения x: x₁ = 0 и x₂ = 2

3. Построим таблицу знаков производной функции, используя найденные значения x и тестовые точки: ``` x | 0 | 2 | ----------------------------- y'(x) | 0 | 0 | ----------------------------- y''(x) | -6 | 6 | ``` Точка x = 0 является точкой перегиба, так как y''(0) ≠ 0. Точка x = 2 является точкой экстремума, так как y''(2) ≠ 0.

4. Анализируя таблицу знаков производной функции, мы можем сделать следующие выводы:

- При x < 0 функция убывает. - При 0 < x < 2 функция возрастает. - При x > 2 функция убывает.

Таким образом, интервалы монотонности данной функции y = x³ - 3x² + 1 следующие:

- Убывание: (-∞, 0) и (2, +∞). - Возрастание: (0, 2).