Question

Задано функцію. Необхідно знайти: 1) критичні точки; 2) інтервали монотонності та встановити характер монотонності на кожному з них; 3) точки екстремуму; 4) екстремуми функції y = -x³+3x²+3​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1. D(y) =R

2.y'=-3x^2+6x

-3x^2+6x=0

-3x(x-2)=0

-3x=0 x-2=0

x=0. x=2

y возрастает (0;2)

у убывает (- беск;0) и (2;+беск)

точка 0 min

точка 2 max

y(0)=3

y(2)=-8+12+3=7

Answer 2

Давайте розглянемо задану функцію y = -x³ + 3x² + 3 та вирішимо ваші завдання крок за кроком.

1. Критичні точки: Критичні точки функції знаходяться там, де її похідна (перша похідна) дорівнює нулю або не існує. Для знаходження критичних точок визначимо похідну функції:

y = -x³ + 3x² + 3 y' = -3x² + 6x

Тепер знайдемо точки, де y' = 0:

-3x² + 6x = 0

Піднесемо обидві сторони рівняння до квадрата:

9x⁴ = 36x² x⁴ = 4x²

x²(x² - 4) = 0

Отже, x² = 0 або x² - 4 = 0

1. x² = 0 => x = 0
2. x² - 4 = 0 => x² = 4 => x = ±2

Таким чином, маємо три критичні точки: x = 0, x = 2 і x = -2.

2. Інтервали монотонності та їх характер: Для визначення інтервалів монотонності можна взяти тестові точки між критичними точками та вирахувати значення похідної в цих точках.

a) Інтервал (-∞, -2): Виберемо x = -3 (тестова точка): y'(-3) = -3*(-3)² + 6*(-3) = -27 - 18 = -45 Так як y'(-3) < 0, то на цьому інтервалі функція спадає (монотонно спадаюча).

b) Інтервал (-2, 0): Виберемо x = -1 (тестова точка): y'(-1) = -3*(-1)² + 6*(-1) = -3 + (-6) = -9 Так як y'(-1) < 0, то на цьому інтервалі функція також спадає (монотонно спадаюча).

c) Інтервал (0, 2): Виберемо x = 1 (тестова точка): y'(1) = -3*(1)² + 6*(1) = -3 + 6 = 3 Так як y'(1) > 0, то на цьому інтервалі функція зростає (монотонно зростаюча).

d) Інтервал (2, ∞): Виберемо x = 3 (тестова точка): y'(3) = -3*(3)² + 6*(3) = -27 + 18 = -9 Так як y'(3) < 0, то на цьому інтервалі функція також зростає (монотонно спадаюча).

3. Точки екстремуму: Точки екстремуму - це точки, де похідна функції дорівнює нулю, але вони також повинні бути критичними точками. Ми вже знайшли критичні точки раніше: x = 0, x = 2 і x = -2.

4. Екстремуми функції: Тепер ми маємо перевірити значення функції y в цих критичних точках:

a) x = 0: y(0) = -0³ + 3*0² + 3 = 0 + 0 + 3 = 3

b) x = 2: y(2) = -2³ + 3*2² + 3 = -8 + 12 + 3 = 7

c) x = -2: y(-2) = -(-2)³ + 3*(-2)² + 3 = -(-8) + 12 + 3 = 8 + 12 + 3 = 23

Отже, точка x = -2 є локальним максимумом, точка x = 2 є локальним мінімумом, а точка x = 0 не є ні максимумом, ні мінімумом.