Question

Нужно найти предел lim(x стремится к 4) ((x)^1/2)-2)/(x^2-16)^1/3)

Answer 1

Ловите решение. Удачи!

Answer 2

Для нахождения предела данной функции, мы можем использовать несколько методов, включая алгебраические преобразования, правило Лопиталя или раскрытие предела. Давайте рассмотрим каждый из этих методов.

Алгебраические преобразования

Для начала, давайте раскроем скобки в числителе и знаменателе: lim(x -> 4) ((x^1/2 - 2)/(x^2 - 16)^1/3) = lim(x -> 4) ((x - 4)/(x^2 - 16)^1/3) * (1/(x^1/2 + 2))

Теперь мы можем заметить, что в числителе и знаменателе имеются разности квадратов. Мы можем преобразовать их, чтобы упростить выражение: lim(x -> 4) ((x - 4)/(x^2 - 16)^1/3) * (1/(x^1/2 + 2)) = lim(x -> 4) ((x - 4)/((x - 4)(x + 4))^1/3) * (1/(x^1/2 + 2))

Теперь мы можем сократить общий множитель (x - 4) в числителе и знаменателе: lim(x -> 4) ((x - 4)/((x - 4)(x + 4))^1/3) * (1/(x^1/2 + 2)) = lim(x -> 4) (1/((x + 4)^1/3 * (x^1/2 + 2)))

Теперь мы можем подставить x = 4 в выражение: lim(x -> 4) (1/((x + 4)^1/3 * (x^1/2 + 2))) = 1/((4 + 4)^1/3 * (4^1/2 + 2)) = 1/(8^1/3 * 4)

Упрощая это выражение, получаем: 1/(8^1/3 * 4) = 1/(2 * 4) = 1/8 = 0.125

Правило Лопиталя

Если мы хотим использовать правило Лопиталя для нахождения предела, мы будем дифференцировать числитель и знаменатель по переменной x и вычислять предел отношения их производных при x, стремящемся к 4.

Для этого, давайте первоначально найдем производные числителя и знаменателя: f(x) = (x^1/2 - 2), g(x) = (x^2 - 16)^1/3

f'(x) = (1/2)*(x^(-1/2)), g'(x) = (2/3)*(x^2 - 16)^(-2/3)*(2x)

Теперь давайте найдем предел отношения производных: lim(x -> 4) (f'(x)/g'(x)) = lim(x -> 4) ((1/2)*(x^(-1/2))/((2/3)*(x^2 - 16)^(-2/3)*(2x)))

Подставим x = 4 в это выражение: lim(x -> 4) ((1/2)*(x^(-1/2))/((2/3)*(x^2 - 16)^(-2/3)*(2x))) = ((1/2)*(4^(-1/2))/((2/3)*(4^2 - 16)^(-2/3)*(2*4)))

Упрощая это выражение, получаем: ((1/2)*(4^(-1/2))/((2/3)*(4^2 - 16)^(-2/3)*(2*4))) = ((1/2)*(4^(-1/2))/((2/3)*(0)^(-2/3)*(8))) = ((1/2)*(4^(-1/2))/((2/3)*(0)*(8)))

Заметим, что знаменатель равен 0, что означает, что правило Лопиталя не применимо в данном случае.

Раскрытие предела

Мы можем также использовать раскрытие предела для нахождения предела данной функции. Для этого мы будем использовать пределы элементарных функций и алгебраические свойства пределов.

Раскроем предел в числителе и знаменателе: lim(x -> 4) ((x^1/2 - 2)/(x^2 - 16)^1/3) = lim(x -> 4) ((x^1/2 - 2)/(x^2 - 16)^(1/3)) = lim(x -> 4) ((x^1/2 - 2)/((x - 4)(x + 4))^(1/3))

Мы можем разложить выражение в знаменателе на произведение пределов: lim(x -> 4) ((x^1/2 - 2)/((x - 4)(x + 4))^(1/3)) = lim(x -> 4) ((x^1/2 - 2)/(x - 4)^(1/3) * (x + 4)^(1/3))

Теперь мы можем вынести предел (x - 4)^(1/3) из числителя: lim(x -> 4) ((x^1/2 - 2)/(x - 4)^(1/3) * (x + 4)^(1/3)) = lim(x -> 4) ((x^1/2 - 2)/(x - 4)^(1/3)) * lim(x -> 4) ((x + 4)^(1/3))

Подставим x = 4 в каждое из выражений: lim(x -> 4) ((x^1/2 - 2)/(x - 4)^(1/3)) = lim(x -> 4) ((4^1/2 - 2)/(4 - 4)^(1/3)) = (0 - 2)/(0)^(1/3) = -2/0 = undefined

lim(x -> 4) ((x + 4)^(1/3)) = (4 + 4)^(1/3) = 8^(1/3) = 2

Теперь мы можем перемножить эти два предела: lim(x -> 4) ((x^1/2 - 2)/(x^2 - 16)^1/3) = (undefined) * (2) = undefined

Таким образом, предел данной функции при x, стремящемся к 4, равен undefined.