Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=ln(3x-x²) на промежутке [1;2]

Answer 1

y = ln(3x - x²)

y' = (3 - 2x)/(3x - x²) = (3 - 2x)/(x(3 - x))

Находим нули числителя и знаменателя у производной функции:

3 - 2x = 0  ⇒  x = 1,5

x = 0 -- не принадлежит промежутку [1; 2]

3 - x = 0  ⇒  x = 3 -- не принадлежит промежутку [1; 2]

Подставляем найденные точки, принвдлежащие промежутку [1; 2], а также концы отрезка в функцию:

y(1) = ln(3 - 1) = ln2 -- наименьшее значение

y(1,5) = ln(4,5 - 2,25) = ln2,25 -- наибольшее значение

y(2) = ln(6 - 4) = ln2 -- наименьшее значение

Ответ: ln2,25 -- наибольшее значение, ln2 -- наименьшее значение функции на промежутке [1; 2]

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $y = \ln(3x - x^2)$ на заданном промежутке $[1; 2]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y$ по $x$.
2. Найти критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Проверить значения функции в найденных критических точках и на концах заданного промежутка.
4. Найти максимальное и минимальное значение функции.

Давайте начнем с шага 1. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y = \ln(3x - x^2)$

Используем правило дифференцирования логарифма и цепное правило:

$y' = \frac{1}{3x - x^2} \cdot (3 - 2x)$

Теперь перейдем ко второму шагу. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$0 = \frac{1}{3x - x^2} \cdot (3 - 2x)$

Это уравнение имеет два решения: $x = 1$ и $x = 3$. Однако, поскольку мы ищем точки на промежутке $[1; 2]$, мы отбросим $x = 3$.

Теперь переходим к шагу 3. Проверим значения функции в критической точке $x = 1$ и на концах промежутка ($x = 1$ и $x = 2$):

$y(1) = \ln(3 \cdot 1 - 1^2) = \ln(2)$

$y(2) = \ln(3 \cdot 2 - 2^2) = \ln(2)$

Таким образом, минимальное и максимальное значения функции на промежутке $[1; 2]$ равны $\ln(2)$.

Итак, наименьшее и наибольшее значение функции $y = \ln(3x - x^2)$ на промежутке $[1; 2]$ равны $\ln(2)$.