Question

Помогите решить систему уравнений по трём способами 2x+y=1;y-x=-1 скиньте подробно пожалуйста

Answer 1

Вот всё готово! Три способа!

Answer 2

Конечно, решим данную систему уравнений сначала тремя различными способами.

Способ 1: Метод сложения (метод Гаусса)

Для решения системы уравнений методом сложения, мы складываем оба уравнения так, чтобы одна из переменных исчезла:

1. Уравнение 1: 2x + y = 1
2. Уравнение 2: y - x = -1

Умножим уравнение 2 на 2, чтобы сделать коэффициенты x в обоих уравнениях одинаковыми:

1. 2x + y = 1
2. 2y - 2x = -2

Теперь сложим оба уравнения:

(2x + y) + (2y - 2x) = 1 - 2 3y = -1

Разделим обе стороны на 3, чтобы найти значение y:

y = -1/3

Теперь, когда у нас есть значение y, подставим его в одно из начальных уравнений (например, уравнение 1) для нахождения значения x:

2x + (-1/3) = 1

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

2x - 1 = 3

Прибавим 1 к обеим сторонам:

2x = 4

Разделим обе стороны на 2:

x = 2

Таким образом, решение данной системы уравнений:

x = 2 y = -1/3

Способ 2: Метод подстановки

Мы начнем с уравнения 2:

y - x = -1

Решим его относительно y:

y = x - 1

Теперь подставим это значение y в уравнение 1:

2x + (x - 1) = 1

Сложим x и 2x:

3x - 1 = 1

Добавим 1 к обеим сторонам:

3x = 2

Разделим обе стороны на 3:

x = 2/3

Теперь, зная значение x, найдем значение y, используя уравнение y = x - 1:

y = (2/3) - 1 y = -1/3

Таким образом, мы получаем те же значения для x и y, что и в первом методе:

x = 2/3 y = -1/3

Способ 3: Метод определителей (Крамера)

Сначала определим определители системы:

1. Определитель главной матрицы (D): D = |2 1| |1 -1|

2. Определитель по x (Dx): Заменяем определитель первого столбца (коэффициентов перед x) на столбец свободных членов (1 и -1): Dx = |1 1| |-1 -1|

3. Определитель по y (Dy): Заменяем определитель второго столбца (коэффициентов перед y) на столбец свободных членов (1 и -1): Dy = |2 1| |1 -1|

Теперь вычислим определители D, Dx и Dy:

D = (2 * (-1)) - (1 * 1) = -2 - 1 = -3 Dx = (1 * (-1)) - (1 * (-1)) = -1 + 1 = 0 Dy = (2 * 1) - (1 * 1) = 2 - 1 = 1

Теперь найдем значения x и y:

x = Dx / D = 0 / (-3) = 0 y = Dy / D = 1 / (-3) = -1/3

Таким образом, решение системы уравнений с помощью метода определителей:

x = 0 y = -1/3

Результаты, полученные всеми тремя методами, одинаковы:

x = 2/3 y = -1/3