Question

Производная от x-1/x^2+1

Answer 1

Производная функции2⋅x⋅x−4+1

Answer 2

Давайте найдем производную функции $f(x) = x - \frac{1}{x^2+1}$ с помощью правила дифференцирования суммы и правила дифференцирования частного.

Сначала найдем производную $x$ по отношению к $x$. Для этой функции $x$ является просто линейным членом, и его производная равна 1.

Теперь найдем производную $\frac{1}{x^2+1}$. Для этой части функции используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = 1$ и $v(x) = x^2+1$. Тогда:

$u'(x) = 0$ (производная константы равна нулю)

$v'(x) = 2x$ (производная $x^2+1$)

Используя правило дифференцирования частного, производная $\frac{1}{x^2+1}$ равна:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2+1}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 - 1\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$

Теперь мы можем найти производную исходной функции $f(x)$, объединив результаты:

$f'(x) = 1 - \frac{-2x}{(x^2+1)^2} = 1 + \frac{2x}{(x^2+1)^2}$

Таким образом, производная функции $f(x) = x - \frac{1}{x^2+1}$ равна $f'(x) = 1 + \frac{2x}{(x^2+1)^2}$.