Question

Решить дифференциальное уравнение: 2xy¹+yy¹-y-(2x+1)²=0

Answer 1

Ответ:

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.

Начнем с выражения уравнения в виде:

2xy * dy/dx + y * dy/dx - y - (2x + 1)^2 = 0

Перегруппируем члены:

(2xy + y) * dy/dx - y - (2x + 1)^2 = 0

Теперь разделим переменные, переместив все члены с y и dy/dx на одну сторону уравнения, а все члены с x на другую сторону:

(2xy + y) * dy = (2x + 1)^2 * dx + y * dy

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(2xy + y) * dy = ∫(2x + 1)^2 * dx + ∫y * dy

Интегрируя, получим:

x^2y + (1/2)y^2 = (2x + 1)^3/3 + (1/2)y^2 + C

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, решение дифференциального уравнения будет:

x^2y + (1/2)y^2 = (2x + 1)^3/3 + C

где C - произвольная постоянная.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное дифференциальное уравнение:

2xy' + yy' - y - (2x + 1)² = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разделения переменных. Для начала давайте выразим производную y' в виде отношения дифференциалов:

2xy' + yy' - y - (2x + 1)² = 0

(2x + y)y' - y - (2x + 1)² = 0

(2x + y)y' = y + (2x + 1)²

Теперь давайте разделим переменные, переместив члены с y и x в одну сторону, а члены с y' и dx в другую:

(2x + y)y' = y + (2x + 1)²

(2x + y)y' = y + 4x² + 4x + 1

Теперь делим обе стороны на (2x + y) и перемещаем члены с y и dx в одну сторону:

y' = (y + 4x² + 4x + 1) / (2x + y)

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение, выраженное в виде разделения переменных. Мы можем продолжить, интегрируя обе стороны уравнения. Однако интегрирование этого уравнения может быть сложным, и оно может не иметь аналитического решения в виде элементарных функций. Мы могли бы попробовать численные методы для его решения.