Question

Решите методом интервалов неравенство:(x^(2)-7x+12)(x^(2)-x+2)<=0

Answer 1

Ответ:

Для решения неравенства методом интервалов необходимо найти нули функции на числовой прямой. Для этого найдем корни квадратного уравнения:

x^2 - 7x + 12 = 0

Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

x1,2 = (7 ± sqrt(1)) / 2 = (3 ± 1) / 2

Теперь найдем нули функции:

x^(2) - x + 2 = 0

Дискриминант равен:

D = 1 - 4*2 = -1

Уравнение не имеет действительных корней, поэтому функция не имеет нулей на числовой оси.

Теперь мы можем определить интервалы, на которых функция принимает неотрицательные значения.

Функция принимает неотрицательное значение на интервалах:

(-∞, 3 - sqrt(1)] U [3 + sqrt(1), +∞)

Таким образом, решение неравенства будет:

{x <= 3 - sqrt(1) или x >= 3 + sqrt(1)}

Answer 2

Чтобы решить неравенство (x^2 - 7x + 12)(x^2 - x + 2) <= 0 методом интервалов, мы должны определить интервалы, на которых это неравенство выполняется.

1. Начнем с нахождения корней обоих квадратных уравнений: a) x^2 - 7x + 12 = 0 Это уравнение можно разложить на множители: (x - 3)(x - 4) = 0. Из этого уравнения получаем два корня: x = 3 и x = 4.

   b) x^2 - x + 2 = 0 Это уравнение не имеет действительных корней. Мы можем определить это, используя дискриминант (D = b^2 - 4ac) и замечая, что D < 0.

2. Теперь мы можем использовать корни этих уравнений для разбиения числовой прямой на интервалы. Интервалы, на которых неравенство выполняется, можно определить, анализируя знак выражения (x^2 - 7x + 12)(x^2 - x + 2).

   Посмотрим на интервалы:

   • бесконечность до x = 3
   • от 3 до 4
   • от 4 до плюс бесконечности

3. Определение знака выражения на каждом интервале:

   a) Первый интервал (-∞, 3): Выберем точку, например, x = 2, и подставим её в выражение: (2^2 - 7*2 + 12)(2^2 - 2 + 2) = (4 - 14 + 12)(4 - 2 + 2) = (-10)(4) = -40 Таким образом, на этом интервале выражение отрицательно.

   b) Второй интервал (3, 4): Выберем точку, например, x = 3.5, и подставим её в выражение: (3.5^2 - 7*3.5 + 12)(3.5^2 - 3.5 + 2) = (12.25 - 24.5 + 12)(12.25 - 3.5 + 2) = (0.75)(10.75) = 8.0625 На этом интервале выражение положительно.

   c) Третий интервал (4, ∞): Выберем точку, например, x = 5, и подставим её в выражение: (5^2 - 7*5 + 12)(5^2 - 5 + 2) = (25 - 35 + 12)(25 - 5 + 2) = (2)(22) = 44 На этом интервале выражение положительно.

4. Теперь учтем знаки выражения на каждом интервале в исходном неравенстве:

   • На интервале (-∞, 3) выражение <= 0.
   • На интервале (3, 4) выражение > 0.
   • На интервале (4, ∞) выражение <= 0.

5. Итак, решение неравенства (x^2 - 7x + 12)(x^2 - x + 2) <= 0 следующее: x принадлежит интервалу (-∞, 3] и интервалу [4, ∞).

Поэтому множество решений этого неравенства можно записать как x ∈ (-∞, 3] ∪ [4, ∞).