Question

На столе лежат камни. Двое игроков по очереди берут со стола 4,5 или 8 камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. В частности, игрок, которому достался один камень, проиграл. а) Оцените позиции (от 0 до 31 включительно) - распишите какие номера В (выигрышные), а какие П (проигрышные) б) Является ли позиция 251 проигрышной или выигрышной?

Answer 1

251 выигрышный позиция 0 проигравшая 

Answer 2

Эта игра относится к классу математических игр, известных как "игры с ними". Для того чтобы оценить выигрышность или проигрышность позиций, можно использовать стратегию обратной индукции.

а) Начнем с оценки позиций:

0 - проигрышная (П) 1 - выигрышная (B) 2 - проигрышная (П) 3 - выигрышная (B) 4 - проигрышная (П) 5 - выигрышная (B) 6 - проигрышная (П) 7 - выигрышная (B) 8 - выигрышная (B) 9 - выигрышная (B) 10 - выигрышная (B) 11 - выигрышная (B) 12 - выигрышная (B) 13 - выигрышная (B) 14 - выигрышная (B) 15 - проигрышная (П) 16 - проигрышная (П) 17 - проигрышная (П) 18 - проигрышная (П) 19 - проигрышная (П) 20 - проигрышная (П) 21 - проигрышная (П) 22 - проигрышная (П) 23 - проигрышная (П) 24 - проигрышная (П) 25 - проигрышная (П) 26 - проигрышная (П) 27 - проигрышная (П) 28 - проигрышная (П) 29 - проигрышная (П) 30 - проигрышная (П) 31 - проигрышная (П)

б) Позиция 251 относится к проигрышной (П) позиции.

Answer 3

Эта игра относится к тому, что называется "Игра с кучей камней". Она является примером игры с неполной информацией в комбинаторной теории игр и имеет много общего с известной математической теорией, называемой "Ним".

Для оценки позиций в этой игре можно использовать стратегию динамического программирования.

1. Назовем позицию выигрышной (В), если игрок, находящийся в этой позиции, имеет выигрышную стратегию, и проигрышной (П) в противном случае.

2. Для оценки каждой позиции начнем с тех, которые являются базовыми, и постепенно двигаемся к более сложным.

3. Для этой конкретной игры, на самом деле, каждая позиция от 0 до 31 включительно является проигрышной (П).

Чтобы это понять, рассмотрим некоторые позиции:

• Позиция 0: Начальная позиция с нулевым количеством камней, что означает, что первый игрок сразу проигрывает.
• Позиция 1: Позиция с одним камнем, что также означает проигрыш первого игрока.

Таким образом, все позиции от 0 до 31 включительно являются проигрышными.

Что касается позиции 251, она также является проигрышной, так как она входит в диапазон от 0 до 31.