Question

Решите уравнение 3^x-2=8^x-2

Answer 1

3*x-2=8*x-2
3x-8x=2-2
-5х=0
х=-5:0
х=0

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте приведем оба слагаемых к общему основанию, используя свойство $a^{m} = b^{m} \rightarrow a = b$, где $a, b > 0$ и $m \neq 0$.

Итак, у нас есть:

$3^{x-2} = 8^{x-2}.$

Применим свойство, что $8 = 2^3$, поэтому

$3^{x-2} = (2^3)^{x-2} = 2^{3(x-2)} = 2^{3x-6}.$

Теперь у нас есть:

$3^{x-2} = 2^{3x-6}.$

Чтобы продолжить, нужно привести обе части уравнения к одной основе. Один из способов сделать это — прологарифмировать обе стороны по основанию 10, естественному основанию $e$ или любому другому удобному основанию. Давайте возьмем натуральный логарифм:

$\ln(3^{x-2}) = \ln(2^{3x-6}).$

Используем свойство логарифмов $\ln(a^b) = b \ln(a)$:

$(x-2)\ln(3) = (3x-6)\ln(2).$

Раскроем скобки:

$x\ln(3) - 2\ln(3) = 3x\ln(2) - 6\ln(2).$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону:

$x\ln(3) - 3x\ln(2) = - 6\ln(2) + 2\ln(3).$

Теперь выражаем $x$:

$x(\ln(3) - 3\ln(2)) = - 6\ln(2) + 2\ln(3),$

$x = \frac{- 6\ln(2) + 2\ln(3)}{\ln(3) - 3\ln(2)}.$

Вычислим значение $x$:

$x = \frac{-6\ln(2) + 2\ln(3)}{\ln(3) - 3\ln(2)} \approx -1.416.$